Géométrie analytique Cube – Bac S Liban 2009

Exercice 3

4 points – Commun à tous candidats

On considère un cube ABCDEFGH d’arête de longueur 1. On désigne par l le milieu de [EF] et par J le symétrique de E par rapport à F.

Dans tout l’exercice, l’espace est rapporté au repère orthonormal $\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$.

1. 1. Déterminer les coordonnées des points l et J.

   2. Vérifier que le vecteur $\overrightarrow{DJ}$ est un vecteur normal au plan (BGI).

   3. En déduire une équation cartésienne du plan (BGI).

   4. Calculer la distance du point F au plan (BGI).

2. On note ($\Delta$) la droite passant par F et orthogonale au plan (BGI).

   1. Donner une représentation paramétrique de la droite ($\Delta$).

   2. Montrer que la droite ($\Delta$) passe par le centre K de la face ADHE.

   3. Montrer que la droite ($\Delta$) et le plan (BGI) sont sécants en un point, noté L, de coordonnées

      $\left(\dfrac{2}{3}; \dfrac{1}{6}; \dfrac{5}{6}\right)$.

   4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.
      
      Le point L est-il l’orthocentre du triangle BGI ?