Exercice 2
5 points – Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
On se propose dans cet exercice, d’étudier des propriétés d’un solide de l’espace.
L’espace est rapporté à un repère orthonormal $\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)$.
On considère les points A(3;4;0) ; B(0;5;0) et C(0;0;5). On note I le milieu du segment [AB].
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Faire une figure où l’on placera les points A, B, C, I dans le repère $\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)$.
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Démontrer que les triangles OAC et OBC sont rectangles et isocèles.
Quelle est la nature du triangle ABC ?
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Soit H le point de coordonnées $\left(\dfrac{15}{19}; \dfrac{45}{19}; \dfrac{45}{19}\right)$.
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Démontrer que les points H, C, I sont alignés.
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Démontrer que H est le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC).
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En déduire une équation cartésienne du plan ABC.
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Calculs d’aire et de volume.
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Calculer l’aire du triangle OAB. En déduire le volume du tétraèdre OABC.
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Déterminer la distance du point O au plan (ABC).
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Calculer l’aire du triangle ABC.
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