Géométrie analytique – Bac S Centres étrangers 2009
Exercice 2
5 points - Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
On se propose dans cet exercice, d'étudier des propriétés d'un solide de l'espace.
L'espace est rapporté à un repère orthonormal $ \left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right) $.
On considère les points A(3;4;0) ; B(0;5;0) et C(0;0;5). On note I le milieu du segment [AB].
- Faire une figure où l'on placera les points A, B, C, I dans le repère $ \left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right) $.
- Démontrer que les triangles OAC et OBC sont rectangles et isocèles.
Quelle est la nature du triangle ABC ? Soit H le point de coordonnées $ \left(\dfrac{15}{19}; \dfrac{45}{19}; \dfrac{45}{19}\right) $.
- Démontrer que les points H, C, I sont alignés.
- Démontrer que H est le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC).
- En déduire une équation cartésienne du plan ABC.
Calculs d'aire et de volume.
- Calculer l'aire du triangle OAB. En déduire le volume du tétraèdre OABC.
- Déterminer la distance du point O au plan (ABC).
- Calculer l'aire du triangle ABC.
Corrigé
Figure
Nature des triangles
Calculons les longueurs des côtés des triangles OAC et OBC dans le repère orthonormal.
$ \overrightarrow{OA}(3; 4; 0) \Rightarrow OA = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5 $
$ \overrightarrow{OC}(0; 0; 5) \Rightarrow OC = \sqrt{0^2 + 0^2 + 5^2} = 5 $
Le produit scalaire $ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = 3 \times 0 + 4 \times 0 + 0 \times 5 = 0 $.
Les vecteurs sont orthogonaux, donc le triangle OAC est rectangle en O.
Comme $ OA = OC = 5 $, le triangle OAC est rectangle et isocèle en O.De même pour OBC :
$ \overrightarrow{OB}(0; 5; 0) \Rightarrow OB = 5 $
$ \overrightarrow{OC}(0; 0; 5) \Rightarrow OC = 5 $
$ \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = 0 \times 0 + 5 \times 0 + 0 \times 5 = 0 $.
Le triangle OBC est donc rectangle et isocèle en O.Pour la nature du triangle ABC, calculons les longueurs de ses côtés :
$ AC = \sqrt{(0-3)^2 + (0-4)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} $
$ BC = \sqrt{(0-0)^2 + (0-5)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{0 + 25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} $
$ AB = \sqrt{(0-3)^2 + (5-4)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{9 + 1 + 0} = \sqrt{10} $
Comme $ AC = BC $, le triangle ABC est isocèle en C.Alignement de H, C, I
I est le milieu de [AB], ses coordonnées sont :
$ I \left( \dfrac{3+0}{2} ; \dfrac{4+5}{2} ; \dfrac{0+0}{2} \right) \Rightarrow I(1,5 ; 4,5 ; 0) $Calculons les coordonnées des vecteurs $ \overrightarrow{CI} $ et $ \overrightarrow{CH} $ :
$ \overrightarrow{CI}(1,5 - 0 ; 4,5 - 0 ; 0 - 5) \Rightarrow \overrightarrow{CI}(1,5 ; 4,5 ; -5) $
$ \overrightarrow{CH} \left( \dfrac{15}{19} - 0 ; \dfrac{45}{19} - 0 ; \dfrac{45}{19} - 5 \right) \Rightarrow \overrightarrow{CH} \left( \dfrac{15}{19} ; \dfrac{45}{19} ; -\dfrac{50}{19} \right) $
On remarque que $ \overrightarrow{CH} = \dfrac{10}{19} \overrightarrow{CI} $.
Les vecteurs sont colinéaires et ont le point C en commun, donc les points H, C et I sont alignés.
H projeté orthogonal de O sur (ABC)
Pour démontrer que H est le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC), il faut vérifier que le vecteur $ \overrightarrow{OH} \left( \dfrac{15}{19} ; \dfrac{45}{19} ; \dfrac{45}{19} \right) $ est normal au plan (ABC).
Vérifions l'orthogonalité avec deux vecteurs non colinéaires du plan, par exemple $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{CI} $ :
$ \overrightarrow{AB}(-3 ; 1 ; 0) $$ \overrightarrow{OH} \cdot \overrightarrow{AB} = \dfrac{15}{19} \times (-3) + \dfrac{45}{19} \times 1 + \dfrac{45}{19} \times 0 = -\dfrac{45}{19} + \dfrac{45}{19} = 0 $
$ \overrightarrow{OH} \cdot \overrightarrow{CI} = \dfrac{15}{19} \times 1,5 + \dfrac{45}{19} \times 4,5 + \dfrac{45}{19} \times (-5) $
$ \quad = \dfrac{22,5 + 202,5 - 225}{19} = 0 $
Le vecteur $ \overrightarrow{OH} $ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC).
De plus, comme H est sur la droite (CI) et que C et I appartiennent au plan (ABC), alors H appartient au plan (ABC).
H est donc bien le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC).Équation du plan ABC
Le vecteur $ \overrightarrow{OH} $ est normal au plan. On peut utiliser un vecteur normal proportionnel pour simplifier les calculs : $ \vec{n}(1 ; 3 ; 3) $.
L'équation du plan est de la forme $ x + 3y + 3z + d = 0 $.
Comme C(0; 0; 5) appartient au plan :
$ 0 + 3(0) + 3(5) + d = 0 \Rightarrow 15 + d = 0 \Rightarrow d = -15 $.
L'équation cartésienne du plan ABC est :$ x + 3y + 3z - 15 = 0 $
Calcul d'aire et de volume
Le triangle OAB est rectangle en O (car dans le plan $ z=0 $, $ \overrightarrow{OA}(3;4) $ et $ \overrightarrow{OB}(0;5) $ ont des composantes qui ne s'annulent pas de la même manière, mais plus simplement, c'est la base d'un repère orthogonal).
Aire(OAB) $ = \dfrac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} $. En prenant OB comme base (longueur 5) et en utilisant l'abscisse de A comme hauteur (3) :
$ \text{Aire}(OAB) = \dfrac{1}{2} \times 5 \times 3 = 7,5 \text{ unités d'aire} $Le volume du tétraèdre OABC est donné par :
$ V = \dfrac{1}{3} \times \text{Aire}(OAB) \times OC = \dfrac{1}{3} \times 7,5 \times 5 = 12,5 \text{ unités de volume} $.
$ V = 12,5 $Distance de O au plan (ABC)
La distance de O au plan (ABC) est la longueur OH.
$ OH = \sqrt{\left(\dfrac{15}{19}\right)^2 + \left(\dfrac{45}{19}\right)^2 + \left(\dfrac{45}{19}\right)^2} = \dfrac{1}{19}\sqrt{225 + 2025 + 2025} = \dfrac{\sqrt{4275}}{19} = \dfrac{15\sqrt{19}}{19} = \dfrac{15}{\sqrt{19}} $.
$ d(O, (ABC)) = \dfrac{15}{\sqrt{19}} $Aire du triangle ABC
En utilisant la formule du volume $ V = \dfrac{1}{3} \times \text{Aire}(ABC) \times d(O, (ABC)) $ :
$ 12,5 = \dfrac{1}{3} \times \text{Aire}(ABC) \times \dfrac{15}{\sqrt{19}} $
$ \text{Aire}(ABC) = \dfrac{12,5 \times 3 \times \sqrt{19}}{15} = \dfrac{37,5\sqrt{19}}{15} = 2,5\sqrt{19} $.
$ \text{Aire}(ABC) = \dfrac{5\sqrt{19}}{2} $