Trigonométrie : TVI et utilisation des formules trigonométriques

Montrer que l'équation $ \sin\left(x\right)=\dfrac{1}{4} $ possède une unique solution $ \alpha $ sur l'intervalle $ \left[0 ; \dfrac{\pi }{2}\right] $.
A la calculatrice, donner un encadrement de $ \alpha $ à $ 10^{ - 2} $ près.
Donner la valeur exacte de

♦ $ \cos\left(\alpha \right) $

♦ $ \cos\left(\pi +\alpha \right) $

♦ $ \sin\left(2\alpha \right) $

♦ $ \cos\left(2\alpha \right) $

Corrigé

La fonction sinus est continue et strictement croissante sur l'intervalle $ \left[0;\dfrac{\pi }{2}\right] $.

$ \dfrac{1}{4} $ est compris entre $ \sin 0=0 $ et $ \sin \dfrac{\pi }{2}=1 $.

Donc d'après le corolaire du théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction strictement croissante, l'équation $ \sin\left(x\right)=\dfrac{1}{4} $ possède une unique solution sur l'intervalle $ \left[0 ; \dfrac{\pi }{2}\right] $.
A la calculatrice on trouve :

$ \sin\left(0,25\right) \approx 0,247 $

$ \sin\left(0,26\right) \approx 0,257 $

donc $ 0,25 < \alpha < 0,26 $
$ \cos^{2}\alpha =1 - \sin^{2}\alpha =1 - \left(\dfrac{1}{4}\right)^{2}=\dfrac{15}{16} $

Comme $ \alpha \in \left[0;\dfrac{\pi }{2}\right] $, son cosinus est positif donc :

♦ $ \cos \alpha = \dfrac{\sqrt{15}}{4} $

♦ $ \cos \left( \pi +\alpha \right) = - \cos \alpha = - \dfrac{\sqrt{15}}{4} $

On utilise les formules de duplication :

$ \sin 2\alpha =2 \sin\alpha \cos\alpha =2\dfrac{\sqrt{15}}{4}\times \dfrac{1}{4} $

♦ $ \sin 2\alpha =\dfrac{\sqrt{15}}{8} $

$ \cos 2\alpha =\cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha =\dfrac{15}{16} - \dfrac{1}{16}=\dfrac{14}{16} $

♦ $ \cos 2\alpha =\dfrac{7}{8} $