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Montrer que l’équation $\sin\left(x\right)=\dfrac{1}{4}$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $\left[0 ; \dfrac{\pi }{2}\right]$.
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A la calculatrice, donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{ – 2}$ près.
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Donner la valeur exacte de
♦ $\cos\left(\alpha \right)$
♦ $\cos\left(\pi +\alpha \right)$
♦ $\sin\left(2\alpha \right)$
♦ $\cos\left(2\alpha \right)$
Corrigé
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La fonction sinus est continue et strictement croissante sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{\pi }{2}\right]$.
$\dfrac{1}{4}$ est compris entre $\sin 0=0$ et $\sin \dfrac{\pi }{2}=1$.
Donc d’après le corolaire du théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction strictement croissante, l’équation $\sin\left(x\right)=\dfrac{1}{4}$ possède une unique solution sur l’intervalle $\left[0 ; \dfrac{\pi }{2}\right]$.
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A la calculatrice on trouve :
$\sin\left(0,25\right) \approx 0,247$
$\sin\left(0,26\right) \approx 0,257$
donc $0,25 < \alpha < 0,26$
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$\cos^{2}\alpha =1 – \sin^{2}\alpha =1 – \left(\dfrac{1}{4}\right)^{2}=\dfrac{15}{16}$
Comme $\alpha \in \left[0;\dfrac{\pi }{2}\right]$, son cosinus est positif donc :
♦ $\cos \alpha = \dfrac{\sqrt{15}}{4}$
♦ $\cos \left( \pi +\alpha \right) = – \cos \alpha = – \dfrac{\sqrt{15}}{4}$
On utilise les formules de duplication :
$\sin 2\alpha =2 \sin\alpha \cos\alpha =2\dfrac{\sqrt{15}}{4}\times \dfrac{1}{4}$
♦ $\sin 2\alpha =\dfrac{\sqrt{15}}{8}$
$\cos 2\alpha =\cos^{2}\alpha – \sin^{2}\alpha =\dfrac{15}{16} – \dfrac{1}{16}=\dfrac{14}{16}$
♦ $\cos 2\alpha =\dfrac{7}{8}$