Formes indéterminées : fonctions rationnelles
Soit la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R}\backslash\left\{1\right\} $ par $ f\left(x\right)=\dfrac{2x^{2}+1}{\left(x - 1\right)^{2}} $ et $ \mathscr C_{f} $ sa courbe représentative dans un repère $ \left(O ; \vec{i}, \vec{j}\right) $.
Déterminer les équations des asymptotes à la courbe $ \mathscr C_{f} $.
Corrigé
- Limites en $ +\infty $ et $ - \infty $ :
On a une forme indéterminée du type «$ \dfrac{ \infty}{\infty} $» (voir Méthode : Formes indéterminées)
On développe le dénominateur puis on factorise par $ x^{2} $ au numérateur et au dénominateur :
$ f\left(x\right)=\dfrac{2x^{2}+1}{\left(x - 1\right)^{2}}=\dfrac{2x^{2}+1}{x^{2} - 2x+1}=\dfrac{x^{2}\left(2+1/x^{2}\right)}{x^{2}\left(1 - 2/x+1/x^{2}\right)}=\dfrac{2+1/x^{2}}{1 - 2/x+1/x^{2}} $
Lorsque $ x\rightarrow \pm \infty $ le numérateur tend vers $ 2 $ et le dénominateur tend vers $ 1 $ donc par quotient :
$ \lim\limits_{x\rightarrow \pm \infty }f\left(x\right)=2 $
La courbe $ \mathscr C_{f} $ admet donc la droite d'équation $ y=2 $ comme asymptote horizontale.. Limite en $ 1 $ Lorsque $ x\rightarrow 1 $, le dénominateur tend vers zéro; on a affaire à une limite du type «$ \dfrac{k}{0} $» (voir fiche : limite du type «$ k/0 $»)
Pour $ x\neq 1 $ le dénominateur (qui est un carré) et le numérateur sont strictement positif donc :
$ \lim\limits_{x\rightarrow 1}f\left(x\right)=+\infty $
Remarque :Il n'est pas utile de distinguer ici limite à gauche et limite à droite; en effet $ f $ ne change pas de signe donc les limites à droite et à gauche sont égales.
La courbe $ C_{f} $ admet donc une asymptote verticale d'équation $ x=1 $
