Calculer $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt{x} – 1}{x – 1}$
Corrigé
On obtient une forme indéterminée du type « $\dfrac{0}{0}$ »
Voici deux méthodes pour lever l’indétermination :
1ère méthode
On multiplie par l’expression conjuguée ( voir Méthode pour lever une forme indéterminée – Méthode 2 )
$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt{x} – 1}{x – 1}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\left(\sqrt{x} – 1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(x – 1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt{x}^{2} – 1}{\left(x – 1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}$
Or pour $x\geqslant 0$, $\sqrt{x}^{2}=x$ donc :
$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt{x} – 1}{x – 1}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{x – 1}{\left(x – 1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{1}{2}$
2ème méthode
On utilise le nombre dérivé ( voir Calcul de limites et nombre dérivé )
Posons $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ pour $x\geqslant 0$
Alors :
$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt{x} – 1}{x – 1}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{f\left(x\right) – f\left(1\right)}{x – 1}=f^{\prime}\left(1\right)$
Et pour $x > 0$, $f^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ donc $f^{\prime}\left(1\right)=\dfrac{1}{2}$
Finalement : $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt{x} – 1}{x – 1}=\dfrac{1}{2}$