Forme indéterminée avec racine carrée

On obtient une forme indéterminée du type « $ \dfrac{0}{0} $ »

Voici deux méthodes pour lever l'indétermination :

1ère méthode

On multiplie par l'expression conjuguée ( voir Méthode pour lever une forme indéterminée - Méthode 2 )

$ \lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\left(\sqrt{x} - 1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(x - 1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt{x}^{2} - 1}{\left(x - 1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)} $

Or pour $ x\geqslant 0 $, $ \sqrt{x}^{2}=x $ donc :

$ \lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{x - 1}{\left(x - 1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{1}{2} $

2ème méthode

On utilise le nombre dérivé ( voir Calcul de limites et nombre dérivé )

Posons $ f\left(x\right)=\sqrt{x} $ pour $ x\geqslant 0 $

Alors :

$ \lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{f\left(x\right) - f\left(1\right)}{x - 1}=f^{\prime}\left(1\right) $

Et pour $ x > 0 $, $ f^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} $ donc $ f^{\prime}\left(1\right)=\dfrac{1}{2} $

Finalement : $ \lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}=\dfrac{1}{2} $