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Fonctions-Intégrales – Bac ES/L Polynésie 2014

Exercice 4 (5 points)

Commun à tous les candidats

Les antibiotiques sont des molécules possédant la propriété de tuer des bactéries ou d'en limiter la propagation.

Le tableau ci-dessous donne la concentration dans le sang en fonction du temps d'un antibiotique injecté en une seule prise à un patient.

Temps en heure 0,5 1 1,5 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Concentration en mg/l 1,6 2 1,9 1,6 1,2 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,4

Ces données conduisent à la modélisation de la concentration en fonction du temps par la fonction $ g $ définie sur l'intervalle $ \left[0 ; 10\right] $ par $ g\left(t\right)=\dfrac{4t}{t^{2}+1}. $
Lorsque $ t $ représente le temps écoulé, en heures, depuis l'injection de l'antibiotique, $ g\left(t\right) $ représente la concentration en mg/l de l'antibiotique.

Le graphique suivant représente les données du tableau et la courbe représentative de la fonction $ g $.

Bac ES/L Polynésie 2014

  1. Par lecture graphique donner sans justification :

    1. les variations de la fonction $ g $ sur $ \left[0 ; 10\right] $ ;
    2. la concentration maximale d'antibiotique lors des 10 premières heures ;
    3. l'intervalle de temps pendant lequel la concentration de l'antibiotique dans le sang est supérieure à 1,2 mg/l

    1. La fonction $ g $ est dérivable sur l'intervalle $ \left[0 ; 10\right] $ et sa dérivée est $ g^{\prime} $.
      Montrer que :

      $ g^{\prime}\left(t\right)=\dfrac{4\left(1 - t^{2}\right)}{\left(t^{2}+1\right)^{2}} $.

    2. En utilisant l'expression de $ g^{\prime}\left(t\right) $, montrer que la concentration maximale serait, avec cette modélisation, atteinte exactement 1 heure après l'injection

  3. On admet que $ G $ définie sur $ \left[0 ; 10\right] $ par $ G\left(t\right)=2\ln \left(t^{2}+1\right) $ est une primitive de $ g $ sur cet intervalle.

    Quelle est la concentration moyenne de l'antibiotique pendant les 10 premières heures ? Donner la valeur exacte et la valeur arrondie au millième.

    Rappel : la valeur moyenne d'une fonction $ f $ sur $ \left[a ; b\right] $ est donnée par $ \dfrac{1}{b - a}\int_{a}^{b} f\left(x\right)dx $.

  4. On définit la CMI (Concentration Minimale Inhibitrice) d'un antibiotique comme étant la concentration au dessus de laquelle les bactéries ne peuvent plus se multiplier.

    La CMI de l'antibiotique injecté est $ 1,2 $ mg/l.

    Déterminer, par le calcul, le temps d'antibiotique utile c'est-à-dire la durée pendant laquelle la concentration de l'antibiotique étudié est supérieure à sa CMI.

Corrigé

  1. D'après le graphique fourni :

    1. La fonction $ g $ est croissante sur l'intervalle $ [0 ; 1] $ et décroissante sur l'intervalle $ [1 ; 10] $.

    2. La concentration maximale d'antibiotique est atteinte pour $ t = 1 $ heure.

      Elle est égale à $ 2 $ mg/l.

    3. La concentration est supérieure à $ 1,2 $ mg/l lorsque la courbe est au-dessus de la droite horizontale d'équation $ y = 1,2 $.

      Par lecture graphique, cela correspond environ à l'intervalle $ [0,3 ; 3] $.

    1. La fonction $ g $ est de la forme $ \dfrac{u}{v} $ avec $ u(t) = 4t $ et $ v(t) = t^2 + 1 $.

      Leurs dérivées sont $ u'(t) = 4 $ et $ v'(t) = 2t $.

      En appliquant la formule $ \left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} $, on obtient :

      $ g'(t) = \dfrac{4(t^2 + 1) - 4t(2t)}{(t^2 + 1)^2} = \dfrac{4t^2 + 4 - 8t^2}{(t^2 + 1)^2} = \dfrac{4 - 4t^2}{(t^2 + 1)^2} $

      En factorisant par 4 au numérateur, on retrouve bien l'expression demandée :

      $ g'(t) = \dfrac{4(1 - t^2)}{(t^2 + 1)^2} $

    2. Le dénominateur $ (t^2 + 1)^2 $ est toujours strictement positif.

      Le signe de $ g'(t) $ est donc celui de $ 1 - t^2 $.

      Sur $ [0 ; 10] $, $ 1 - t^2 \geqslant 0 $ pour $ t \in [0 ; 1] $ et $ 1 - t^2 \leqslant 0 $ pour $ t \in [1 ; 10] $.

      La fonction $ g $ est donc croissante sur $ [0 ; 1] $ puis décroissante sur $ [1 ; 10] $.

      Le maximum est ainsi atteint exactement pour $ t = 1 $ heure.

      La concentration maximale est alors $ g(1) = \dfrac{4 \times 1}{1^2 + 1} = \dfrac{4}{2} = 2 $ mg/l.

  3. La concentration moyenne $ M $ sur l'intervalle $ [0 ; 10] $ est donnée par :

    $ M = \dfrac{1}{10 - 0} \int_{0}^{10} g(t) dt $

    Comme $ G $ est une primitive de $ g $, on a :

    $ M = \dfrac{1}{10} [G(t)]_0^{10} = \dfrac{1}{10} (G(10) - G(0)) $

    Calculons les valeurs :

  4. $ G(10) = 2\ln(10^2 + 1) = 2\ln(101) $

  5. $ G(0) = 2\ln(0^2 + 1) = 2\ln(1) = 0 $

    D'où la valeur exacte :

    $ M = \dfrac{2\ln(101)}{10} = \dfrac{\ln(101)}{5} $ mg/l.

    À la calculatrice, on obtient $ M \approx 0,923 $ mg/l.

  6. On cherche à résoudre l'inéquation $ g(t) \geqslant 1,2 $ sur $ [0 ; 10] $.

    $ \dfrac{4t}{t^2 + 1} \geqslant 1,2 \iff 4t \geqslant 1,2(t^2 + 1) $
    $ 4t \geqslant 1,2t^2 + 1,2 \iff 1,2t^2 - 4t + 1,2 \leqslant 0 $

    Étudions le signe du trinôme $ 1,2t^2 - 4t + 1,2 $ en calculant son discriminant :

    $ \Delta = (-4)^2 - 4 \times 1,2 \times 1,2 = 16 - 5,76 = 10,24 $

    Le discriminant est positif, le trinôme admet deux racines :

  7. $ t_1 = \dfrac{4 - \sqrt{10,24}}{2 \times 1,2} = \dfrac{4 - 3,2}{2,4} = \dfrac{0,8}{2,4} = \dfrac{1}{3} $

  8. $ t_2 = \dfrac{4 + \sqrt{10,24}}{2 \times 1,2} = \dfrac{4 + 3,2}{2,4} = \dfrac{7,2}{2,4} = 3 $

    Le trinôme est négatif entre ses racines.

    La concentration est donc supérieure à la CMI sur l'intervalle $ \left[\dfrac{1}{3} ; 3\right] $.

    La durée utile est donc de $ 3 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{8}{3} $ heures.

    Cela correspond à $ 2 $ heures et $ 40 $ minutes (car $ \dfrac{2}{3} \times 60 = 40 $).