Exercice 4 (5 points)
Commun à tous les candidats
Les antibiotiques sont des molécules possédant la propriété de tuer des bactéries ou d’en limiter la propagation.
Le tableau ci-dessous donne la concentration dans le sang en fonction du temps d’un antibiotique injecté en une seule prise à un patient.
| Temps en heure | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Concentration en mg/l | 1,6 | 2 | 1,9 | 1,6 | 1,2 | 0,9 | 0,8 | 0,7 | 0,6 | 0,5 | 0,4 | 0,4 |
Ces données conduisent à la modélisation de la concentration en fonction du temps par la fonction $g$ définie sur l’intervalle $\left[0 ; 10\right]$ par $g\left(t\right)=\dfrac{4t}{t^{2}+1}.$
Lorsque $t$ représente le temps écoulé, en heures, depuis l’injection de l’antibiotique, $g\left(t\right)$ représente la concentration en mg/l de l’antibiotique.
Le graphique suivant représente les données du tableau et la courbe représentative de la fonction $g$.
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Par lecture graphique donner sans justification :
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les variations de la fonction $g$ sur $\left[0 ; 10\right]$ ;
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la concentration maximale d’antibiotique lors des 10 premières heures ;
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l’intervalle de temps pendant lequel la concentration de l’antibiotique dans le sang est supérieure à 1,2 mg/l
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La fonction $g$ est dérivable sur l’intervalle $\left[0 ; 10\right]$ et sa dérivée est $g^{\prime}$.
Montrer que :$g^{\prime}\left(t\right)=\dfrac{4\left(1 – t^{2}\right)}{\left(t^{2}+1\right)^{2}}$.
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En utilisant l’expression de $g^{\prime}\left(t\right)$, montrer que la concentration maximale serait, avec cette modélisation, atteinte exactement 1 heure après l’injection
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On admet que $G$ définie sur $\left[0 ; 10\right]$ par $G\left(t\right)=2\ln \left(t^{2}+1\right)$ est une primitive de $g$ sur cet intervalle.
Quelle est la concentration moyenne de l’antibiotique pendant les 10 premières heures ? Donner la valeur exacte et la valeur arrondie au millième.
Rappel : la valeur moyenne d’une fonction $f$ sur $\left[a ; b\right]$ est donnée par $\dfrac{1}{b – a}\int_{a}^{b} f\left(x\right)dx$.
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On définit la CMI (Concentration Minimale Inhibitrice) d’un antibiotique comme étant la concentration au dessus de laquelle les bactéries ne peuvent plus se multiplier.
La CMI de l’antibiotique injecté est $1,2$ mg/l.
Déterminer, par le calcul, le temps d’antibiotique utile c’est-à-dire la durée pendant laquelle la concentration de l’antibiotique étudié est supérieure à sa CMI.