On rappelle que les fonctions d’offre et de demande indiquent respectivement la quantité d’un produit que les acteurs du marché sont prêts à vendre ou à acheter pour un prix donné.
Un disquaire vend sur internet des CD musicaux dont le prix unitaire varie entre 10 et 30 euros.
Une étude de marché a permis de modéliser les fonctions d’offre $f$ et de demande $g$ d’un de ces CD à l’aide des formules :
$f(x)=22,32x+268$
et
$g(x)= – 0.048x^3+4x^2 – 120x+1760$
où $x$ désigne le prix d’un CD en euros.
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Donner le sens de variation de $f$ sur l’intervalle $[10 ; 30]$. Quelle interprétation économique de ce résultat peut-on faire ?
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Indiquer pourquoi la fonction $g$ est dérivable sur l’intervalle $[10 ; 30]$ et calculer sa dérivée.
En déduire le sens de variation de $g$ sur cet intervalle. Interpréter économiquement ce résultat.
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On appelle « prix d’équilibre », le prix $x_0$ pour lequel l’offre et la demande sont égales.
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On pose $h(x)=f(x) – g(x)$. Montrer que le prix d’équilibre $x_0$ est solution de l’équation $h(x)=0$ sur l’intervalle $[10 ; 30]$.
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Étudier les variations de la fonction $h$.
En déduire que, pour le problème posé, il existe un et un seul point d’équilibre.
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À l’aide de la calculatrice déterminer une valeur approchée à $10^{ – 2}$ près de $x_0$.
Quelles sont alors les valeurs de l’offre et de la demande ?
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