[Bac] Etude d’une fonction trigonométrique
(d'après Bac S Nouvelle Calédonie 2005 - Sujet modifié pour être conforme au programme actuel)
Un lapin désire traverser une route de $ 4 $ mètres de largeur. Un camion, occupant toute la route, arrive à sa rencontre à la vitesse de $ 60 $ km/h. Le lapin décide au dernier moment de traverser, alors que le camion n'est plus qu'à $ 7 $ mètres de lui. Son démarrage est foudroyant et on suppose qu'il effectue la traversée en ligne droite au maximum de ses possibilités, c'est à dire à ... $ 30 $ km/h !
L'avant du camion est représenté par le segment $ \left[CC^{\prime}\right] $ sur le schéma ci-dessous.
Le lapin part du point $ A $ en direction de $ D $.
Cette direction est repérée par l'angle $ \theta =\widehat{BAD} $ avec $ 0 \leqslant \theta < \dfrac{\pi }{2} $(en radians).
- Déterminer les distances $ AD $ et $ CD $ en fonction de $ \theta $ et les temps $ t_{1} $ et $ t_{2} $ mis par le lapin et le camion pour parcourir respectivement les distances $ AD $ et $ CD $.
- On pose $ f\left(\theta \right)=\dfrac{7}{2}+\dfrac{2 \sin \theta - 4}{\cos \theta } $.
Montrer que le lapin aura traversé la route avant le passage du camion si et seulement si $ f\left(\theta \right) > 0 $. - Etudier la fonction $ f $ sur l'intervalle $ \left[0 ; \dfrac{\pi }{2}\right[ $.
Conclure.
Corrigé
- Le triangle $ ABC $ étant rectangle en $ B $ :
$ \cos \theta =\dfrac{AB}{AD} $ donc $ AD=\dfrac{AB}{\cos \theta }=\dfrac{4}{\cos \theta } $
$ \sin \theta =\dfrac{BD}{AD} $ donc $ BD=AD \sin \theta = \dfrac{4 \sin \theta }{\cos \theta } $
$ CD=CB+BD=7+\dfrac{4 \sin \theta }{\cos \theta } $
$ 60 $km/h=$ 1 000 $m/minute et $ 30 $km/h=$ 500 $m/minute
Le temps, en minutes, mis par le lapin pour parcourir $ AD $ est donc :
$ t_{1}=\dfrac{1}{500}\left(\dfrac{4}{\cos \theta }\right) $
Le temps, en minutes, mis par le camion pour parcourir $ CD $ :
$ t_{2}= \dfrac{1}{1000}\left(7+\dfrac{4 \sin \theta }{\cos \theta }\right) $ - Le lapin aura traversé la route avant le passage du camion si et seulement si $ t_{2} > t_{1} $, c'est à dire $ t_{2} - t_{1} > 0 $. Or :
$ t_{2} - t_{1}=\dfrac{1}{1000}\left(7+\dfrac{4 \sin \theta }{\cos \theta }\right) - \dfrac{1}{500}\left(\dfrac{4}{\cos \theta }\right) $
$ t_{2} - t_{1}=\dfrac{1}{500}\left(\dfrac{1}{2}\left(7+\dfrac{4 \sin \theta }{\cos \theta }\right) - \dfrac{4}{\cos \theta }\right) $
$ t_{2} - t_{1}=\dfrac{1}{500}\left(\dfrac{7}{2}+\dfrac{2 \sin \theta }{\cos \theta } - \dfrac{4}{\cos \theta }\right) $
$ t_{2} - t_{1}=\dfrac{1}{500}f\left(\theta \right) $
Donc le lapin aura traversé la route avant le passage du camion si et seulement si $ f\left(\theta \right) > 0 $. On pose $ u\left(\theta \right)=2\sin \theta - 4 $ et $ v\left(\theta \right)=\cos\left(\theta \right) $
$ f^{\prime}\left(\theta \right)=\dfrac{u^{\prime}\left(\theta \right)v\left(\theta \right) - u\left(\theta \right)v^{\prime}\left(\theta \right)}{v\left(\theta \right)^{2}}=\dfrac{2\cos^{2}\theta - \left(2\sin \theta - 4\right)\times - \sin \theta }{\cos^{2}\theta } $
$ f^{\prime}\left(\theta \right)=\dfrac{2\left(\cos^{2}\theta +\sin^{2}\theta \right) - 4\sin \theta }{\cos^{2}\theta }=\dfrac{2 - 4\sin \theta }{\cos^{2}\theta }=\dfrac{2\left(1 - 2\sin \theta \right)}{\cos^{2}\theta } $
$ f^{\prime}\left(\theta \right) > 0 \Leftrightarrow 1 - 2\sin \theta > 0 \Leftrightarrow - 2\sin \theta > - 1 \Leftrightarrow \sin \theta < \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin \theta < \sin \dfrac{\pi }{6} $
Or la fonction sinus étant strictement croissante sur l'intervalle $ \left[0 ; \dfrac{\pi }{2}\right[ $, $ \sin \theta < \sin \dfrac{\pi }{6} \Leftrightarrow \theta < \dfrac{\pi }{6} $
$ f\left(0\right)=\dfrac{7}{2} - 4= - \dfrac{1}{2} $
Lorsque $ \theta $ tend vers $ \dfrac{\pi }{2} $ en restant inférieur à $ \dfrac{\pi }{2} $, $ \cos \theta $ tend vers zéro en restant positif et $ 2 \sin \theta - 4 $ est négatif donc, par quotient :
$ \lim\limits_{\theta \rightarrow \frac{\pi }{2}^ - }\dfrac{2 \sin \theta - 4}{\cos \theta }= - \infty $
et par somme :
$ \lim\limits_{\theta \rightarrow \frac{\pi }{2}^ - }f\left(x\right)= - \infty $
On en déduit le tableau de variation de la fonction $ f $ :
et sa courbe représentative :
A la calculatrice on trouve : $ f\left(\dfrac{\pi }{6}\right)\approx 0.04 > 0 $
Le lapin peut donc être sauvé si l'angle $ \theta $ est proche de $ \dfrac{\pi }{6} $