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(d’après Bac S Nouvelle Calédonie 2005 – Sujet modifié pour être conforme au programme actuel)
Un lapin désire traverser une route de $4$ mètres de largeur. Un camion, occupant toute la route, arrive à sa rencontre à la vitesse de $60$ km/h. Le lapin décide au dernier moment de traverser, alors que le camion n’est plus qu’à $7$ mètres de lui. Son démarrage est foudroyant et on suppose qu’il effectue la traversée en ligne droite au maximum de ses possibilités, c’est à dire à … $30$ km/h !
L’avant du camion est représenté par le segment $\left[CC^{\prime}\right]$ sur le schéma ci-dessous.
Le lapin part du point $A$ en direction de $D$.
Cette direction est repérée par l’angle $\theta =\widehat{BAD}$ avec $0 \leqslant \theta < \dfrac{\pi }{2}$(en radians).
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Déterminer les distances $AD$ et $CD$ en fonction de $\theta$ et les temps $t_{1}$ et $t_{2}$ mis par le lapin et le camion pour parcourir respectivement les distances $AD$ et $CD$.
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On pose $f\left(\theta \right)=\dfrac{7}{2}+\dfrac{2 \sin \theta – 4}{\cos \theta }$.
Montrer que le lapin aura traversé la route avant le passage du camion si et seulement si $f\left(\theta \right) > 0$.
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Etudier la fonction $f$ sur l’intervalle $\left[0 ; \dfrac{\pi }{2}\right[$.
Conclure.
Corrigé
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Le triangle $ABC$ étant rectangle en $B$ :
$\cos \theta =\dfrac{AB}{AD}$ donc $AD=\dfrac{AB}{\cos \theta }=\dfrac{4}{\cos \theta }$
$\sin \theta =\dfrac{BD}{AD}$ donc $BD=AD \sin \theta = \dfrac{4 \sin \theta }{\cos \theta }$
$CD=CB+BD=7+\dfrac{4 \sin \theta }{\cos \theta }$
$60$km/h=$1 000$m/minute et $30$km/h=$500$m/minute
Le temps, en minutes, mis par le lapin pour parcourir $AD$ est donc :
$t_{1}=\dfrac{1}{500}\left(\dfrac{4}{\cos \theta }\right)$
Le temps, en minutes, mis par le camion pour parcourir $CD$ :
$t_{2}= \dfrac{1}{1000}\left(7+\dfrac{4 \sin \theta }{\cos \theta }\right)$
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Le lapin aura traversé la route avant le passage du camion si et seulement si $t_{2} > t_{1}$, c’est à dire $t_{2} – t_{1} > 0$. Or :
$t_{2} – t_{1}=\dfrac{1}{1000}\left(7+\dfrac{4 \sin \theta }{\cos \theta }\right) – \dfrac{1}{500}\left(\dfrac{4}{\cos \theta }\right)$
$t_{2} – t_{1}=\dfrac{1}{500}\left(\dfrac{1}{2}\left(7+\dfrac{4 \sin \theta }{\cos \theta }\right) – \dfrac{4}{\cos \theta }\right)$
$t_{2} – t_{1}=\dfrac{1}{500}\left(\dfrac{7}{2}+\dfrac{2 \sin \theta }{\cos \theta } – \dfrac{4}{\cos \theta }\right)$
$t_{2} – t_{1}=\dfrac{1}{500}f\left(\theta \right)$
Donc le lapin aura traversé la route avant le passage du camion si et seulement si $f\left(\theta \right) > 0$.
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On pose $u\left(\theta \right)=2\sin \theta – 4$ et $v\left(\theta \right)=\cos\left(\theta \right)$
$f^{\prime}\left(\theta \right)=\dfrac{u^{\prime}\left(\theta \right)v\left(\theta \right) – u\left(\theta \right)v^{\prime}\left(\theta \right)}{v\left(\theta \right)^{2}}=\dfrac{2\cos^{2}\theta – \left(2\sin \theta – 4\right)\times – \sin \theta }{\cos^{2}\theta }$
$f^{\prime}\left(\theta \right)=\dfrac{2\left(\cos^{2}\theta +\sin^{2}\theta \right) – 4\sin \theta }{\cos^{2}\theta }=\dfrac{2 – 4\sin \theta }{\cos^{2}\theta }=\dfrac{2\left(1 – 2\sin \theta \right)}{\cos^{2}\theta }$
$f^{\prime}\left(\theta \right) > 0 \Leftrightarrow 1 – 2\sin \theta > 0 \Leftrightarrow – 2\sin \theta > – 1 \Leftrightarrow \sin \theta < \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin \theta < \sin \dfrac{\pi }{6}$
Or la fonction sinus étant strictement croissante sur l’intervalle $\left[0 ; \dfrac{\pi }{2}\right[$, $\sin \theta < \sin \dfrac{\pi }{6} \Leftrightarrow \theta < \dfrac{\pi }{6}$
$f\left(0\right)=\dfrac{7}{2} – 4= – \dfrac{1}{2}$
Lorsque $\theta$ tend vers $\dfrac{\pi }{2}$ en restant inférieur à $\dfrac{\pi }{2}$, $\cos \theta$ tend vers zéro en restant positif et $2 \sin \theta – 4$ est négatif donc, par quotient :
$\lim\limits_{\theta \rightarrow \dfrac{\pi }{2}^ – }\dfrac{2 \sin \theta – 4}{\cos \theta }= – \infty$
et par somme :
$\lim\limits_{\theta \rightarrow \dfrac{\pi }{2}^ – }f\left(x\right)= – \infty$
On en déduit le tableau de variation de la fonction $f$ :
et sa courbe représentative :
A la calculatrice on trouve : $f\left(\dfrac{\pi }{6}\right)\approx 0.04 > 0$
Le lapin peut donc être sauvé si l’angle $\theta$ est proche de $\dfrac{\pi }{6}$