Etude de la fonction tangente
On définit la fonction tangente ($ \tan $) par :
- Sur quel ensemble $ D $ la fonction tangente est elle définie ?
- Montrer que la fonction tangente est périodique de période $ \pi $.
Par la suite on étudiera la fonction tangente sur l'intervalle $ I=\left] - \dfrac{\pi }{2} ; \dfrac{\pi }{2}\right[ $. Montrer que la fonction tangente est dérivable sur $ I $ et que pour tout $ x \in I $ :
$ \tan^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{1}{\cos^{2}\left(x\right)}=1+\tan^{2}\left(x\right) $- Calculer $ \lim\limits_{x\rightarrow - \pi /2+}\tan\left(x\right) $ et $ \lim\limits_{x\rightarrow \pi /2 - }\tan\left(x\right) $.
(On rappelle que la notation « $ x\rightarrow - \pi /2+ $ » signifie : « $ x\rightarrow - \pi /2 $ et $ x > - \pi /2 $ »
et « $ x\rightarrow \pi /2 - $ » signifie : « $ x\rightarrow \pi /2 $ et $ x < \pi /2 $ ») - Tracer le tableau de variation de la fonction tangente sur l'intervalle $ I $.
- Tracer la courbe de la fonction tangente sur l'intervalle $ I $.
A partir de cette courbe, comment obtiendrait-on la courbe complète de la fonction tangente sur $ \mathbb{R} $?
Corrigé
La fonction tangente est définie par $\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$.
Elle est définie dès que son dénominateur est non nul, c'est-à-dire quand $\cos(x) \neq 0$.
On sait que $\cos(x) = 0$ pour $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$, soit $x = (2k+1)\dfrac{\pi}{2}$ avec $k \in \mathbb{Z}$.
L'ensemble de définition est donc :$ D = \mathbb{R} - \left\{ (2k+1)\dfrac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \right\} $Pour tout $x \in D$, $(x+\pi) \in D$ et :
$ \tan(x+\pi) = \dfrac{\sin(x+\pi)}{\cos(x+\pi)} = \dfrac{-\sin(x)}{-\cos(x)} = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x) $La fonction tangente est donc périodique de période $\pi$.
Sur l'intervalle $I = \left] -\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2} \right[$, les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont dérivables et $\cos(x) \neq 0$. Par quotient, la fonction tangente est dérivable sur $I$.
En posant $u(x) = \sin(x)$ and $v(x) = \cos(x)$, on a $u'(x) = \cos(x)$ et $v'(x) = -\sin(x)$.
$ \tan'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2} = \dfrac{\cos^2(x) - \sin(x)(-\sin(x))}{\cos^2(x)} = \dfrac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} $On en déduit les deux expressions de la dérivée :
- Comme $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$, alors $ \tan'(x) = \dfrac{1}{\cos^2(x)} $.
- Comme $\dfrac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \dfrac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)} + \dfrac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}$, alors $ \tan'(x) = 1 + \tan^2(x) $.
- On a $\lim\limits_{x\rightarrow -\pi/2^+} \sin(x) = -1$ et $\lim\limits_{x\rightarrow -\pi/2^+} \cos(x) = 0^+$ (car sur $I$, $\cos(x) > 0$).
Par quotient, $\lim\limits_{x\rightarrow -\pi/2^+} \tan(x) = -\infty$.
De même, $\lim\limits_{x\rightarrow \pi/2^-} \sin(x) = 1$ et $\lim\limits_{x\rightarrow \pi/2^-} \cos(x) = 0^+$.
Par quotient, $\lim\limits_{x\rightarrow \pi/2^-} \tan(x) = +\infty$. Comme $\tan'(x) = 1 + \tan^2(x)$, on a $\tan'(x) \geqslant 1$ pour tout $x \in I$. La dérivée est donc strictement positive.
On en déduit le tableau de variations de la fonction tangente sur $I$ :
Courbe représentative de la fonction tangente sur $I$ :
Comme la fonction est périodique de période $\pi$, on obtient la courbe complète sur $\mathbb{R}$ par des translations successives de vecteur $k\pi \vec{i}$ avec $k \in \mathbb{Z}$ de la portion de courbe obtenue sur $I$.
(Solution rédigée par Paki)