Fonction logarithme – Bac S Pondichéry 2016
Exercice 4 - 3 points
Commun à tous les candidats
Soit $ f $ la fonction définie sur $ ]0~;~14] $ par
La courbe représentative $ \mathscr{C}_f $ de la fonction $ f $ est donnée dans le repère orthogonal d'origine O ci-dessous :
À tout point $ M $ appartenant à $ \mathscr{C}_f $ on associe le point $ P $ projeté orthogonal de $ M $ sur l'axe des abscisses, et le point $ Q $ projeté orthogonal de $ M $ sur l'axe des ordonnées.
- L'aire du rectangle $ OPMQ $ est-elle constante quelle que soit la position du point $ M $ sur $ \mathscr{C}_f $ ?
- L'aire du rectangle $ OPMQ $ peut-elle être maximale ?
Si oui, préciser les coordonnées du point $ M $ correspondant.
Justifier les réponses.
Corrigé
Notons $ x $ l'abscisse du point $ M $.$ x $ est positif donc $ OP=x $.
Le point $ M $ appartient à la courbe $ \mathscr C_f $; son ordonnée est donc $ f(x) $. Comme $ f $ est positive sur $ ]0~;~14] $, $ OQ=f(x) $.
L'aire du rectangle $ OPMQ $ est donc :
$ \mathscr A(x)=OP \times OQ =x \times f(x) = 2x - x\ln \left(\dfrac{x}{2}\right) $
Cette aire n'est pas constante.
La fonction $ \mathscr A $ est dérivable sur $ ]0~;~14] $ :
$ \left(\ln \left(\dfrac{x}{2}\right) \right) ^{\prime} = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{x}{2}}=\dfrac{1}{x} $
$ \left(x\ln \left(\dfrac{x}{2}\right) \right) ^{\prime} = \ln \left(\dfrac{x}{2}\right) + x \times \dfrac{1}{x} = 1 + \ln \left(\dfrac{x}{2}\right) $
$ \mathscr A^{\prime}(x)=2 - \left[1 + \ln \left(\dfrac{x}{2}\right)\right]=1 - \ln \left(\dfrac{x}{2}\right) $
Etudions le signe de $ \mathscr A^{\prime}(x) $ :
$ \mathscr A^{\prime}(x) > 0 \ \Leftrightarrow \ 1 - \ln \left(\dfrac{x}{2}\right) > 0 $
$ \phantom{\mathscr A^{\prime}(x) > 0 \ }\Leftrightarrow \ \ln \left(\dfrac{x}{2}\right) < 1 $
$ \phantom{\mathscr A^{\prime}(x) > 0 \ }\Leftrightarrow \ \dfrac{x}{2} < e $ (par croissance de la fonction exponentielle)
$ \phantom{\mathscr A^{\prime}(x) > 0 \ }\Leftrightarrow \ x < 2e $
On démontre de même que $ \mathscr A^{\prime}(x) < 0 \ \Leftrightarrow \ x > 2e $ et $ \mathscr A^{\prime}(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 2e $.
Par ailleurs :
$ f(2e)=2 - \ln\left(\dfrac{2e}{2}\right)=2 - \ln(e)=2 - 1=1 $
et $ \mathscr A(2e)=2e \times f(2e)=2e $
On obtient le tableau de variations suivant :
D'après ce tableau, l'aire du rectangle $ OPMQ $ est maximale au point $ M $ de coordonnées $ (2e~;~f(2e)) $ c'est à dire $ M(2e~;~1) $.