Exercice 4 – 3 points
Commun à tous les candidats
Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~14]$ par
$f(x) = 2 – \ln\left(\dfrac{x}{2}\right).$
La courbe représentative $\mathscr{C}_f$ de la fonction $f$ est donnée dans le repère orthogonal d’origine O ci-dessous :
À tout point $M$ appartenant à $\mathscr{C}_f$ on associe le point $P$ projeté orthogonal de $M$ sur l’axe des abscisses, et le point $Q$ projeté orthogonal de $M$ sur l’axe des ordonnées.
-
L’aire du rectangle $OPMQ$ est-elle constante quelle que soit la position du point $M$ sur $\mathscr{C}_f$ ?
-
L’aire du rectangle $OPMQ$ peut-elle être maximale ?
Si oui, préciser les coordonnées du point $M$ correspondant.
Justifier les réponses.
Corrigé
Notons $x$ l’abscisse du point $M$.$x$ est positif donc $OP=x$.
Le point $M$ appartient à la courbe $\mathscr C_f$; son ordonnée est donc $f(x)$. Comme $f$ est positive sur $]0~;~14]$, $OQ=f(x)$.
L’aire du rectangle $OPMQ$ est donc :
$\mathscr A(x)=OP \times OQ$$=x \times f(x) = 2x – x\ln \left(\dfrac{x}{2}\right)$
Cette aire n’est pas constante.
La fonction $\mathscr A$ est dérivable sur $]0~;~14]$ :
$\left(\ln \left(\dfrac{x}{2}\right) \right) ^{\prime} = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{x}{2}}=\dfrac{1}{x}$
$\left(x\ln \left(\dfrac{x}{2}\right) \right) ^{\prime} = \ln \left(\dfrac{x}{2}\right) + x \times \dfrac{1}{x} = 1 + \ln \left(\dfrac{x}{2}\right)$
$\mathscr A^{\prime}(x)=2 – \left[1 + \ln \left(\dfrac{x}{2}\right)\right]=1 – \ln \left(\dfrac{x}{2}\right)$
Etudions le signe de $\mathscr A^{\prime}(x)$ :
$\mathscr A^{\prime}(x) > 0 \ \Leftrightarrow \ 1 – \ln \left(\dfrac{x}{2}\right) > 0$
$\phantom{\mathscr A^{\prime}(x) > 0 \ }\Leftrightarrow \ \ln \left(\dfrac{x}{2}\right) < 1$
$\phantom{\mathscr A^{\prime}(x) > 0 \ }\Leftrightarrow \ \dfrac{x}{2} < e$ (par croissance de la fonction exponentielle)
$\phantom{\mathscr A^{\prime}(x) > 0 \ }\Leftrightarrow \ x < 2e$
On démontre de même que $\mathscr A^{\prime}(x) < 0 \ \Leftrightarrow \ x > 2e$ et $\mathscr A^{\prime}(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 2e$.
Par ailleurs :
$f(2e)=2 – \ln\left(\dfrac{2e}{2}\right)=2 – \ln(e)=2 – 1=1$
et $\mathscr A(2e)=2e \times f(2e)=2e$
On obtient le tableau de variations suivant :
D’après ce tableau, l’aire du rectangle $OPMQ$ est maximale au point $M$ de coordonnées $(2e~;~f(2e))$ c’est à dire $M(2e~;~1)$.