Exercice 4 – 3 points
Commun à tous les candidats
On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~ +\infty[$ par
$f(x) = 3x – 3x\ln (x).$
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé et $T$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $1$.
Quelle est la position relative de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $T$ ?
Corrigé
Infos
Etudier les positions relatives de deux courbes, c’est trouver les points d’intersection des deux courbes et indiquer quelle courbe est au dessus de l’autre, en découpant, si nécessaire, l’ensemble d’étude en plusieurs sous-intervalles.
L’équation réduite de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $1$ est :
$y=f^{\prime}(1)(x – 1)+f(1)$
Pour dériver $3x\ln(x)$ on utilise la formule $(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$ :
$f^{\prime}(x)=3 – \left(3\ln(x)+3x \times \dfrac{1}{x}\right)= – 3\ln(x)$
Par conséquent :
$f^{\prime}(1)= – 3\ln(1)=0$
Par ailleurs :
$f(1)=3 – 3\ln(1)=3$
L’équation de la droite $T$ est donc $y=3$.
A ce stade, il peut être utile de représenter la fonction $f$ et la droite $T$ à la calculatrice.
On voit sur cette figure que la courbe $\mathcal{C}_f$ est située au dessous de la tangente $T$.
Pour prouver ce résultat, on va étudier les variations de la fonction $f$. On a déjà calculé $f^{\prime}(x)$; étudions le signe de cette dérivée :
$f^{\prime}(x) > 0 \Leftrightarrow – 3\ln(x) > 0$
$\phantom{f^{\prime}(x) > 0 }\Leftrightarrow 3\ln(x) < 0$
$\phantom{f^{\prime}(x) > 0 }\Leftrightarrow \ln(x) < 0$
$\phantom{f^{\prime}(x) > 0 }\Leftrightarrow x < e^0$ (car la fonction exponentielle est croissante)
$\phantom{f^{\prime}(x) > 0 }\Leftrightarrow x < 1$
On démontre de même que $f^{\prime}(x) < 0 \Leftrightarrow x > 1$
On obtient donc le tableau de variations suivant :
Ce tableau montre que la fonction $f$ admet un maximum égal à $3$, donc sur l’intervalle $]0;+\infty[$ la courbe $\mathcal{C}_f$ est située au-dessous de la tangente $T$.