Exercice 3 (5 points)
Commun à tous les candidats
On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $\left[2 ; 8\right]$ par : $f\left(x\right)=\dfrac{ – x^{2}+10x – 16}{x^{2}}$
On appelle $\left(C\right)$ sa courbe représentative dans un repère.
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Montrer que pour tout réel de l’intervalle $\left[2 ; 8\right]$, on a : $f^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{ – 10x+32}{x^{3}}$
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Étudier le signe de $f ^{\prime}\left(x\right)$ sur l’intervalle $\left[2 ; 8\right]$.
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En déduire le tableau de variations de $f$ sur l’intervalle $\left[2 ; 8\right]$
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On appelle $f^{\prime\prime}$ la dérivée seconde de $f$ sur $\left[2 ; 8\right]$.
On admet que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $\left[2 ; 8\right]$, on a : $f^{\prime\prime}\left(x\right)=\dfrac{20x – 96}{x^{4}}$
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Montrer que $f$ est une fonction convexe sur $\left[4,8 ; 8\right]$.
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Montrer que le point de $\left(C\right)$ d’abscisse $4,8$ est un point d’inflexion
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On considère la fonction $F$ définie sur $\left[2 ; 8\right]$ par :$F\left(x\right)= – x+10\ln x +\dfrac{16}{x}$
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Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $\left[2 ; 8\right]$.
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Calculer $I=\int_{2}^{8} f\left(x\right)dx$
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