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edit_note Exercices 50 min
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Exponentielle et intégrale

On considère la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par

$ f(x) = \left(1 - x^2\right) e^x. $

On note $ \mathscr C $ la courbe représentative de la fonction $ f $ dans un repère orthonormal $ (O ; \vec{i}, \vec{j}) $ d'unité 1 centimètre.

  1. Calculer les limites de $ f(x) $ lorsque $ x $ tend vers $ - \infty $ et lorsque $ x $ tend vers $ + \infty $ .
    1. Calculer la dérivée $ f^\prime $ de la fonction $ f $.
    2. Étudier le signe de $ f^\prime(x) $.
    3. Construire le tableau de variations de $ f $
  3. Déterminer les points d'intersections de la courbe $ \mathscr C $ et de l'axe des ordonnées.
  4. A l'aide des questions précédentes, tracer la courbe $ \mathscr C $ dans le repère orthonormal $ (O ; \vec{i}, \vec{j}) $ d'unité 1 centimètre.

  5. Soient $ a $, $ b $ et $ c $ trois réels et $ F $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par $ F(x) =(ax^2+bx+c)e^x $.

    1. Calculer $ F^\prime(x) $.
    2. Montrer qu'il existe des valeurs de $ a $, $ b $ et $ c $ telles que $ F^\prime=f $
  6. En déduire la valeur exacte de l'intégrale $ \mathcal{A} = \int_0^1 f(x)\:\text{d}x $.
  7. Interpréter graphiquement l'intégrale $ \mathcal{A} $.

Corrigé

  1. On a pour tout réel $x$ :

    $ f(x) = (1-x^2)e^x $
  2. En $+\infty$ :
    $\lim\limits_{x\to+\infty} (1-x^2) = -\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty} e^x = +\infty$.
    Par produit, $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = -\infty$.
  3. En $-\infty$ :
    $f(x) = e^x - x^2e^x$.
    $\lim\limits_{x\to-\infty} e^x = 0$ et par croissance comparée, $\lim\limits_{x\to-\infty} x^2e^x = 0$.
    Par somme, $\lim\limits_{x\to-\infty} f(x) = 0$.

    1. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables.
      $f=uv$ avec $u(x) = 1-x^2 \implies u'(x) = -2x$ et $v(x) = e^x \implies v'(x) = e^x$.

      $ f'(x) = -2xe^x + (1-x^2)e^x = (-x^2 - 2x + 1) e^x. $

    2. Pour tout réel $x$, $e^x > 0$. Le signe de $f'(x)$ est donc celui de $-x^2 - 2x + 1$.
      C'est un trinôme du second degré. Ses racines sont :

      $ \Delta = (-2)^2 - 4 \times (-1) \times 1 = 4 + 4 = 8 = (2\sqrt{2})^2 $
      $ x_1 = \dfrac{2 - 2\sqrt{2}}{-2} = -1 + \sqrt{2} \quad \text{et} \quad x_2 = \dfrac{2 + 2\sqrt{2}}{-2} = -1 - \sqrt{2} $

      Comme le coefficient de $x^2$ est négatif, $f'(x)$ est positive entre les racines et négative à l'extérieur.

    3. Tableau de variations de $f$ :

      Tableau de variations
  5. L'intersection avec l'axe des ordonnées correspond à $x = 0$.
    $f(0) = (1-0^2)e^0 = 1 \times 1 = 1$.
    Le point d'intersection est $(0 ; 1)$.

  6. $\ $

    Représentation graphique

  7. Soit $F(x) = (ax^2+bx+c)e^x$.

    1. $F'(x) = (2ax+b)e^x + (ax^2+bx+c)e^x = (ax^2 + (2a+b)x + b+c) e^x$.
    2. On veut $F'(x) = f(x) = (-x^2 + 1)e^x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
      On identifie les coefficients :
      $a = -1$, $2a+b = 0 \implies b = 2$ et $b+c = 1 \implies 2+c = 1 \implies c = -1$.
      D'où $F(x) = (-x^2+2x-1)e^x$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.
  8. $\mathcal{A} = \int_0^1 f(x)\text{d}x = [F(x)]_0^1 = F(1) - F(0)$.
    $F(1) = (-1+2-1)e^1 = 0$.
    $F(0) = (-0+0-1)e^0 = -1$.
    $\mathcal{A} = 0 - (-1) = 1$.
  9. $\mathcal{A}$ est l'aire de la portion de plan délimitée par la courbe $\mathscr C$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$, exprimée en unités d'aire. Comme l'unité est 1 cm, l'unité d'aire est $1 \times 1 = 1 \text{ cm}^2$. Donc $\mathcal{A} = 1 \text{ cm}^2$.

(Solution rédigée par Paki)