Etude de fonction et équations – Bac S Amérique du Nord 2008

Exercice 3

(6 points) Commun à tous les candidats
Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $\left]1; +\infty \right[$ par $f\left(x\right)=\ln x – \dfrac{1}{\ln x}$.

On nomme $\left(C\right)$ la courbe représentative de $f$ et $\Gamma$ la courbe d’équation $y=\ln x$ dans un repère orthogonal $\left(O; \vec{i}, \vec{j}\right)$.

1. Etudier les variations de la fonction $f$ et préciser les limites en $1$ et en $+\infty$.

2. 1. Déterminer $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty }\left[f\left(x\right) – \ln x\right]$. Interpréter graphiquement cette limite.

   2. Préciser les positions relatives de $\left(C\right)$ et de $\Gamma$.

3. On se propose de chercher les tangentes à la courbes $\left(C\right)$ passant par le point $O$.

   1. Soit $a$ un réel appartenant à l’intervalle $\left]1; +\infty \right[$.

      Démontrer que la tangente $T_{a}$ à $\left(C\right)$ au point d’abscisse a passe par l’origine du repère si et seulement si $f\left(a\right) – a f^{\prime}\left(a\right)=0$.

      Soit $g$ la fonction définie sur l’intervalle $\left]1; +\infty \right[$ par $g\left(x\right)=f\left(x\right) – x f^{\prime} \left(x\right)$.

   2. Montrer que sur $\left]1; +\infty \right[$, les équations $g\left(x\right)=0$ et $\left(\ln x\right)^{3} – \left(\ln x\right)^{2} – \ln x – 1=0$ ont les mêmes solutions.

   3. Après avoir étudié les variations de la fonction $u$ définie sur $\mathbb{R}$ par $u\left(t\right)=t^{3} – t^{2} – t – 1$, montrer que la fonction $u$ s’annule une fois et une seule sur $\mathbb{R}$.

   4. En déduire l’existence d’une tangente unique à la courbe $\left(C\right)$ passant par le point $O$.

      La courbe $\left(C\right)$ et la courbe $\Gamma$ sont données en annexe ci-dessous.

      Représentations graphiques obtenues à l’aide d’un tableur :
      

      Tracer cette tangente le plus précisément possible sur cette figure.

4. On considère un réel $m$ et l’équation $f\left(x\right)=mx$ d’inconnue $x$.

   Par lecture graphique et sans justification, donner, suivant les valeurs du réel $m$, le nombre de solutions de cette équation appartenant à l’intervalle $\left]1 ; 10\right]$.