Extrait d’un exercice du Bac S Métropole 2012.
Le sujet complet (qui nécessite l’étude des chapitres Suites et Primitives/intégrales) est disponible ici : Bac S Métropole 2012
On désigne par $f$ la fonction définie sur l’intervalle $\left[1 ; +\infty \right[$ par
$f\left(x\right) = \dfrac{1}{x+1} + \ln\left(\dfrac{x}{x+1}\right).$
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Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
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Démontrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $\left[1 ; +\infty \right[$, $f^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{1}{x\left(x+1\right)^{2}}$.
Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
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En déduire le signe de la fonction $f$ sur l’intervalle $\left[1 ; +\infty \right[$.
