[Bac] Etude d’une fonction avec logarithme (1)

Extrait d’un exercice du Bac S Amérique du Nord 2013.

Le sujet complet (qui nécessite l’étude du chapitre Primitives/intégrales) est disponible ici : Bac S Amérique du Nord 2013

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $\left]0 ;+\infty \right[$ par

$f\left(x\right)=\dfrac{1+\ln \left(x\right)}{x^{2}}$

et soit $\mathscr C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan. La courbe $\mathscr C$ est donnée ci-dessous :

1. 1. Étudier la limite de $f$ en $0$.

   2. Que vaut $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty } \dfrac{\ln \left(x\right)}{x}$ ?

      En déduire la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.

   3. En déduire les asymptotes éventuelles à la courbe $\mathscr C$.

2. 1. On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l’intervalle $\left]0 ;+\infty \right[$.

      Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $\left]0 ;+\infty \right[$,

      $f^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{ – 1 – 2\ln \left(x\right)}{x^{3}}.$

   2. Résoudre sur l’intervalle $\left]0 ;+\infty \right[$ l’inéquation $- 1 – 2\ln\left(x\right) > 0$.

      En déduire le signe de $f^{\prime}\left(x\right)$ sur l’intervalle $\left]0 ;+\infty \right[$.

   3. Dresser le tableau des variations de la fonction $f$.

3. 1. Démontrer que la courbe $\mathscr C$ a un unique point d’intersection avec l’axe des abscisses, dont on précisera les coordonnées.

   2. En déduire le signe de $f\left(x\right)$ sur l’intervalle $\left]0 ;+\infty \right[$.