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[Bac] Etude de fonctions et équations

Extrait d'un exercice du Bac ES/L Liban 2013.

Le sujet complet est disponible ici : Bac ES/L Liban 2013

On considère la fonction $ C $ définie sur l'intervalle $ \left[5 ; 60\right] $ par :

$ C\left(x\right)=\dfrac{e^{0,1x}+20}{x}. $

  1. On désigne par $ C^{\prime} $ la dérivée de la fonction $ C $.

    Montrer que, pour tout $ x\in \left[5 ; 60\right] $:

    $ C^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{0,1xe^{0,1x} - e^{0,1x} - 20}{x^{2}} $

  2. On considère la fonction $ f $ définie sur $ \left[5 ; 60\right] $ par

    $ f\left(x\right)=0,1xe^{0,1x} - e^{0,1x} - 20. $

    1. Montrer que la fonction $ f $ est strictement croissante sur $ \left[5 ; 60\right] $.
    2. Montrer que l'équation $ f\left(x\right)=0 $ possède une unique solution $ \alpha $ dans $ \left[5 ; 60\right] $.
    3. Donner un encadrement à l'unité de $ \alpha $.
    4. En déduire le tableau de signes de $ f\left(x\right) $ sur $ \left[5 ; 60\right] $.
  3. En déduire le tableau de variations de $ C $ sur $ \left[5 ; 60\right] $.

  4. En utilisant le tableau de variations précédent, déterminer le nombre de solutions des équations suivantes :

    1. $ C\left(x\right)=2 $
    2. $ C\left(x\right)=5 $

Corrigé

  1. La fonction $ C $ est de la forme $ \dfrac{u}{v} $ avec :

    $ u(x) = e^{0,1x} + 20 $ et $ v(x) = x $

    On a alors :

    $ u'(x) = 0,1e^{0,1x} $ et $ v'(x) = 1 $

    La dérivée $ C' $ est donnée par :

    $ C'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2} $
    $ C'(x) = \dfrac{0,1e^{0,1x} \times x - (e^{0,1x} + 20) \times 1}{x^2} = \dfrac{0,1xe^{0,1x} - e^{0,1x} - 20}{x^2} $

    La fonction est définie pour $ x \neq 0 $, donc en particulier sur l'intervalle $ [5 ; 60] $.

  2. On considère la fonction $ f $ définie sur $ [5 ; 60] $ par $ f(x) = 0,1xe^{0,1x} - e^{0,1x} - 20 $.

    1. La dérivée de $ f $ est :

      $ f'(x) = 0,1e^{0,1x} + 0,1x \times 0,1e^{0,1x} - 0,1e^{0,1x} = 0,01xe^{0,1x} $

      Pour tout $ x \in [5 ; 60] $, $ 0,01x > 0 $ et $ e^{0,1x} > 0 $, donc $ f'(x) > 0 $.
      La fonction $ f $ est donc strictement croissante sur $ [5 ; 60] $.

    2. Sur l'intervalle $ [5 ; 60] $ :
    3. $ f $ est continue (car dérivable).
    4. $ f $ est strictement croissante.
    5. $ f(5) = 0,1 \times 5 e^{0,5} - e^{0,5} - 20 \approx -20,8 < 0 $.

    6. $ f(60) = 0,1 \times 60 e^{6} - e^{6} - 20 \approx 1997,1 > 0 $.

      D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $ f(x) = 0 $ possède une unique solution $ \alpha $ dans $ [5 ; 60] $.

    7. À l'aide d'un tableur ou d'une calculatrice, on trouve :

      $ f(25) \approx -1,29 < 0 $ et $ f(26) \approx 6,75 > 0 $

      On en déduit l'encadrement à l'unité : $ 25 < \alpha < 26 $.

    8. Comme $ f $ est strictement croissante et s'annule en $ \alpha $, on obtient le tableau de signes suivant :

      Tableau de signes

  3. On remarque que $ C'(x) = \dfrac{f(x)}{x^2} $. Comme $ x^2 > 0 $, $ C'(x) $ est du même signe que $ f(x) $.
    Le tableau de variations de $ C $ est donc :

    Tableau de variations

    Note : $ C(5) \approx 4,33 $, $ C(\alpha) \approx 1,29 $, $ C(60) \approx 7,06 $ (valeurs calculées avec un tableur).

  4. D'après le tableau de variations :

    1. L'équation $ C(x) = 2 $ possède deux solutions : une sur l'intervalle $ ]5 ; \alpha[ $ car $ 2 \in ]1,29 ; 4,33[ $, et une sur l'intervalle $ ]\alpha ; 60[ $ car $ 2 \in ]1,29 ; 7,06[ $.
    2. L'équation $ C(x) = 5 $ possède une unique solution sur l'intervalle $ ]\alpha ; 60[ $ car $ 5 \in ]1,29 ; 7,06[ $, mais aucune sur $ ]5 ; \alpha[ $ car $ 5 > 4,33 $.

(Solution rédigée par Paki)