Soit la fonction $f$ définie sur l’intervalle $\mathbb{R}$ par $f\left(x\right)=xe^{ – x}$.
On notera $\mathscr C_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
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Calculer $f^{\prime}\left(x\right)$ et tracer le tableau de variation de la fonction $f$.
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Tracer la courbe $\mathscr C_{f}$.
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Montrer que la courbe $\mathscr C_{f}$ admet un point d’inflexion dont on précisera les coordonnées.
Corrigé
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$f$ est dérivable comme produit de fonctions dérivables.
Si on pose $u\left(x\right)=x$ et $v\left(x\right)=e^{ – x}$ on a $u^{\prime}\left(x\right)=1$, $v^{\prime}\left(x\right)= – e^{ – x}$ et :
$f^{\prime}\left(x\right)=u^{\prime}\left(x\right)v\left(x\right)+u\left(x\right)v^{\prime}\left(x\right)=e^{ – x} – xe^{ – x}=\left(1 – x\right)e^{ – x}$
$e^{ – x}$ est toujours positif donc $f^{\prime}\left(x\right)$ est du signe de $1 – x$ c’est à dire positif ou nul si et seulement si $x\leqslant 1$.
$f\left(1\right)=e^{ – 1}=\dfrac{1}{e}$
On obtient le tableau de variation suivant :
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$f^{\prime}\left(x\right)=e^{ – x} – xe^{ – x}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$f^{\prime\prime}\left(x\right)= – e^{ – x} – \left(e^{ – x} – xe^{ – x}\right)$ (calcul analogue à la question 1.)
$f^{\prime\prime}\left(x\right)= – 2e^{ – x}+xe^{ – x}=\left(x – 2\right)e^{ – x}$
$f^{\prime\prime}$ s’annule pour $x=2$, est négative si $x < 2$ et positive si $x > 2$.
Donc la courbe $\mathscr C_{f}$ admet un point d’inflexion $A$ d’abscisse $2$.
L’ordonnée de $A$ est $f\left(2\right)=2e^{ – 2}=\dfrac{2}{e^{2}}$