[Bac] Etude de fonction et calcul d’aire

(D’après bac ES 2005)
Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par :

On note $\left(C\right)$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal et $\left(D\right)$ la droite d’équation $y=x – 2$. La courbe $\left(C\right)$ est partiellement représentée ci-dessous.

1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.

2. On pose $\alpha =2 \ln 5$.

   1. Montrer que $f\left(\alpha \right)=\alpha$.

   2. Donner une valeur approchée à $10^{ – 1}$ près de $\alpha$

3. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $\left[0;+\infty \right[$ et on note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$ sur cet intervalle.

   1. Calculer $f^{\prime}\left(x\right)$, pour tout $x$ élément de l’intervalle $\left[0;+\infty \right[$.

   2. Etudier le signe de $f^{\prime}\left(x\right)$ sur l’intervalle $\left[0;+\infty \right[$, et dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur cet intervalle

4. Justifier que $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right) – \left(x – 2\right)=0$ et que, pour tout $x$ de l’intervalle $\left[0;+\infty \right[$:

   $f\left(x\right) – \left(x – 2\right) > 0$.

   Donner l’interprétation graphique de ces résultats.

5. Sur le graphique donné ci-dessous :

   1. Placer le point de la courbe $\left(C\right)$ d’abscisse $\alpha$;

   2. Tracer la tangente à la courbe $\left(C\right)$ au point d’abscisse $\alpha$;

   3. Tracer la droite $\left(D\right)$

6. On note $A$ l’aire (en unités d’aire) du domaine $E$ délimité par la courbe $\left(C\right)$, la droite $\left(D\right)$ et les droites d’équations respectives $x=2$ et $x=6$.

   1. Hachurer sur le graphique, le domaine $E$, puis exprimer l’aire $A$ à l’aide d’une expression faisant intervenir une intégrale.

   2. Déterminer la valeur exacte de l’aire $A$, puis en donner la valeur arrondie au centième.