Exercice 2 (5 points)
Commun à tous les candidats
Dans l’espace muni d’un repère orthonormal $\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)$, on considère les points
$A\left(1 , 1 , 0\right)$ , $B\left(1 , 2 , 1\right)$ et $C\left(3 , – 1 , 2\right)$.
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Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
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Démontrer que le plan $\left(ABC\right)$ a pour équation cartésienne $2x+y – z – 3=0$.
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On considère les plans $\left(P\right)$ et $\left(Q\right)$ d’équations respectives $x+2y – z – 4=0$ et $2x+3y – 2z – 5=0$.
Démontrer que l’intersection des plans $\left(P\right)$ et $\left(Q\right)$ est une droite $\left(D\right)$, dont une représentation paramétrique est :
$$\left\{ \begin{matrix} x= – 2+t \\ y=3 \\ z=t \end{matrix}\right.$$ avec $\left(t\in \mathbb{R}\right)$
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Quelle est l’\intersection des trois plans $\left(ABC\right)$, $\left(P\right)$ et $\left(Q\right)$ ?
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Dans cette question toute trace de recherche, même \incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.
Déterminer la distance du point $A$ à la droite $\left(D\right)$.
Corrigé
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$$\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$$
$$\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 2 \\ – 2 \\ 2 \end{pmatrix}$$
Les \vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ n’é\tant pas colinéaires, \les points A, B et C \ne sont pas alignés.
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Les coordonnées des points A, B et C vérifient l’équation $2x+y – z – 3=0$. En effet :
pour A : $2\times 1+1\times 1 – 1\times 0 – 3=0$
pour B : $2\times 1+1\times 2 – 1\times 1 – 3=0$
pour C : $2\times 3+1\times \left( – 1\right) – 1\times 2 – 3=0$
Le plan (ABC) a donc pour équation cartésienne $2x+y – z – 3=0$.
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M de coordonnées $\left(x ; y ; z \right)$ appartient à $P \cap Q$ si et seulement si :
$$\left\{ \begin{matrix} x+2y – z – 4=0 \\ 2x+3y – 2z – 5=0 \end{matrix}\right.$$
On pose $t=z$ et on résout \le système.
$$\left\{ \begin{matrix} z=t \\ x= – 2y+t+4 \\ – 4y+2t +8+3y – 2t – 5=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} z=t \\ y=3 \\ x= – 2+t \end{matrix}\right.$$
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Pour trouver l’\intersection des 3 plans (ABC), (P) et (Q), on résout \le système :
$$\left(S\right) \left\{ \begin{matrix} 2x+y – z – 3=0 \\ x+2y – z – 4=0 \\ 2x+3y – 2z – 5=0 \end{matrix}\right.$$
D’après la question précédente \les deux dernières équations donnent y=3 ce qui permet d’accélérer la résolution :
$$\left(S\right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y=3 \\ 2x+3 – z – 3=0 \\ x+6 – z – 4=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=2 \\ y=3 \\ z=4 \end{matrix}\right.$$
L’\intersection des plans (ABC), (P) et (Q) est donc \le point de coordonnées $\left(2 ; 3 ; 4\right)$.
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Soit M un point de (D). Ses coordonnées $\left(x;y;z\right)$ sont de la forme :
$$\left\{ \begin{matrix} x= – 2+t \\ y=3 \\ z=t \end{matrix}\right.$$
La distance de A à (D) est \le minimum de la distance AM lorsque M décrit (D).
Or :
$AM^{2}=\left( – 3+t\right)^{2}+\left(3 – 1\right)^{2}+t^{2}=t^{2} – 6t+9+4+t^{2} =2t^{2} – 6t+13$
$AM^{2}$ est un polynôme du second degré en $t$ qui atteint son minimum pour $t= – \dfrac{b}{2a}=\dfrac{3}{2}$
Ce minimum vaut alors :
$AM_{0}^{2}=2\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2} – 6\left(\dfrac{3}{2}\right)+13=\dfrac{17}{2}$
La distance de A à (D) est donc :
$AM_{0}=\dfrac{\sqrt{17}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{34}}{2}$