Résoudre les équations suivantes (on déterminera au préalable l’ensemble de définition de chaque équation) :
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$e^{x+1}=2$
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$e^{x^{2}}=\dfrac{1}{2}$
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$\ln\left(x+1\right)= – 1$
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$\ln\left(x+1\right) + \ln\left(x – 1\right)=1$
Corrigé
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Cette équation est définie sur $\mathbb{R}$.
$e^{x+1}=2 \Leftrightarrow x+1=\ln2$ (d’après cette propriété)
L’équation a pour unique solution $x=\ln2 – 1$
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L’équation est définie sur $\mathbb{R}$ et équivalente à :
$x^{2}=\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)$
$x^{2}= – \ln\left(2\right)$
Comme $- \ln\left(2\right) < 0$ l'équation proposée n'a pas de solution.
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L’équation est définie si $x+1 > 0$ donc sur l’intervalle $D=\left] – 1 ; +\infty \right[$
Sur cet intervalle, elle est équivalente à :
$x+1=e^{ – 1}$
$x= – 1+e^{ – 1}$ (que l’on peut aussi écrire $- 1+\dfrac{1}{e}$ ou $\dfrac{1 – e}{e}$)
Cette valeur appartient bien à $D$ donc est l’unique solution de l’équation.
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Cette équation est définie pour $x > – 1$ et $x > 1$ c’est à dire sur l’intervalle $D = \left]1 ; +\infty \right[$.
$\ln\left(x+1\right) + \ln\left(x – 1\right)=1 \Leftrightarrow \ln\left(\left(x+1\right)\left(x – 1\right)\right)=1$
$\ln\left(x+1\right) + \ln\left(x – 1\right)=1 \Leftrightarrow \ln\left(x^{2} – 1\right)=1$
$\ln\left(x+1\right) + \ln\left(x – 1\right)=1 \Leftrightarrow x^{2} – 1=e$
$\ln\left(x+1\right) + \ln\left(x – 1\right)=1 \Leftrightarrow x^{2}=e+1$
$\ln\left(x+1\right) + \ln\left(x – 1\right)=1 \Leftrightarrow x=\sqrt{e+1}$ ou $x= – \sqrt{e+1}$
La valeur $- \sqrt{e+1}$ est négative donc n’appartient pas à $D$.
L’équation a donc pour unique solution $x=\sqrt{e+1}$