Déterminer l’expression d’un terme d’une suite en fonction de n
On considère la suite $ (u_n) $ définie par $ u_0=1 $ et pour tout entier naturel $ n $ :
Le but de cet exercice est de déterminer une formule donnant $ u_n $ en fonction de $ n $.
On utilisera une méthode différente dans chacune des parties.
Première méthode : Raisonnement par récurrence
- Calculer les valeurs de $ u_1 $, $ u_2 $, $ u_3 $ et $ u_4 $.
Conjecturer l'expression de $ u_n $ en fonction de $ n $. - Démontrer, par récurrence, la conjecture faite à la question précédente.
Deuxième méthode : utilisation d'une suite annexe
Pour tout entier naturel $ n $, on pose $ v_n=\dfrac{1}{u_n} $.
- Montrer que la suite $ (v_n) $ est une suite arithmétique dont on déterminera le premier terme et la raison.
- En déduire l'expression de $ v_n $ puis celle de $ u_n $ en fonction de $ n $.
Corrigé
Première méthode : Raisonnement par récurrence
$ u_1 =\dfrac{u_0}{u_0+1}= \dfrac{1}{2} $
$ u_2 =\dfrac{u_1}{u_1+1}= \dfrac{1/2}{3/2}=\dfrac{1}{3} $
$ u_3 =\dfrac{u_2}{u_2+1}= \dfrac{1/3}{4/3}=\dfrac{1}{4} $
$ u_4 =\dfrac{u_3}{u_3+1}= \dfrac{1/4}{5/4}=\dfrac{1}{5} $Les résultats précédents laissent présager que pour tout entier naturel $ n $ :
$ u_n=\dfrac{1}{n+1} $Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $ n $ :
$ u_n=\dfrac{1}{n+1} $Initialisation :
$ u_0=1=\dfrac{1}{0+1} $
La propriété est donc vraie au rang $ 0 $.
Hérédité :
Supposons que, pour un certain entier $ n $, $ u_n=\dfrac{1}{n+1} $ et montrons que $ u_{n+1}=\dfrac{1}{n+2} $ :
$ u_{n+1}=\dfrac{u_n}{u_n+1} $ (d'après l'énoncé)
$ \phantom{u_{n+1}}=\dfrac{1/(n+1)}{1+1/(n+1)} $ (hypothèse de récurrence)
$ \phantom{u_{n+1}}=\dfrac{1/(n+1)}{(n+1)/(n+1)+1/(n+1)} $
$ \phantom{u_{n+1}}=\dfrac{1/(n+1)}{(n+2)/(n+1)} $
$ \phantom{u_{n+1}}=\dfrac{1}{n+2}. $
La propriété est donc héréditaire.
Conclusion :
On en déduit, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier naturel $ n $ :
$ u_n=\dfrac{1}{n+1}. $
Deuxième méthode : utilisation d'une suite annexe
- Pour montrer que la suite $ (v_n) $ est arithmétique, montrons que $ v_{n+1} - v_n $ est constant.
D'après l'énoncé, pour tout entier naturel $ n $ :
$ v_{n+1} - v_n = \dfrac{1}{u_{n+1}} - \dfrac{1}{u_n} $
$ \phantom{v_{n+1} - v_n} = \dfrac{1}{u_n/(u_n+1)} - \dfrac{1}{u_n} $
$ \phantom{v_{n+1} - v_n} = \dfrac{u_n+1}{u_n} - \dfrac{1}{u_n} $
$ \phantom{v_{n+1} - v_n} = \dfrac{u_n}{u_n} = 1. $
La suite $ (v_n) $ est donc une suite arithmétique de raison $ r=1 $.
Son premier terme est :
$ v_0=\dfrac{1}{u_0}=1. $ - On en déduit donc que pour tout entier naturel $ n $ :
$ v_n=v_0+nr=1+n. $
Par conséquent, pour tout entier naturel $ n $ : $ u_n=\dfrac{1}{v_n}=\dfrac{1}{n+1}. $