Soit $k$ un réel positif ou nul.
On considère la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_0=0$ et pour tout entier $n \geqslant 0$ : $u_{n+1}= \sqrt{u_n^2+k^2}$.
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Exprimer $u_1$, $u_2$, $u_3$ en fonction de $k$.
Conjecturer la valeur de $u_n$ en fonction de $k$ et de $n$.
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Démontrer, par récurrence, la conjecture émise à la question précédente.
Corrigé
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$u_{1}= \sqrt{u_0^2+k^2}$$= \sqrt{k^2} = k$
car $k$ est un réel positif ou nul.
$u_{2}= \sqrt{u_1^2+k^2} = \sqrt{k^2 + k^2}$$= \sqrt{2k^2} = k\sqrt{2}$
$u_{3}= \sqrt{u_2^2+k^2} = \sqrt{\left(k\sqrt{2}\right)^2 + k^2}= \sqrt{2k^2+k^2} = k\sqrt{3}$
Au vu de ces premiers résultats, on est amené à conjecturer que, pour tout entier naturel $n$ : $u_n=k \sqrt{n}$
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Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $u_n=k \sqrt{n}$
Initialisation :
$u_0=0$ et $k \sqrt{0} = 0$ donc la propriété est vraie au rang $0$.Hérédité :
Supposons que la propriété $u_n=k \sqrt{n}$ est vraie pour un certain entier naturel $n$. Alors :$u_{n+1}= \sqrt{u_n^2+k^2}$ (définition de la suite)
$\phantom{u_{n+1}}= \sqrt{\left(k \sqrt{n}\right)^2+k^2}$ (hypothèse de récurrence)
$\phantom{u_{n+1}}= \sqrt{nk^2+k^2}$
$\phantom{u_{n+1}}= \sqrt{(n+1)k^2}$
$\phantom{u_{n+1}}= k\sqrt{n+1}$
ce qui montre que la propriété est héréditaire.
Conclusion :
Pour tout entier naturel $n$ : $u_n=k \sqrt{n}$