Démographie : utilisation d’une suite annexe

Au 1er janvier 2005, une ville en pleine expansion avait une population de $100 000$ habitants.

Un bureau d’étude fait l’hypothèse qu’à partir du 1er janvier 2005 :

• le nombre d’habitants de la ville augmente chaque année de 5% du fait des naissances et des décès;

• du fait des mouvements migratoires, $4 000$ personnes supplémentaires viennent s’installer chaque année dans cette ville.

Partie A : Etude théorique

Pour tout entier naturel n, on note $u_{n}$ le nombre d’habitants de cette ville au 1er janvier de l’année $2005+n$.

Ainsi, $u_{0}=100 000$.

1. Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$.

2. Justifier que, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=1,05u_{n}+ 4 000$.

3. Pour tout entier naturel n, on pose $v_{n}=u_{n}+80 000$.

   1. Calculer $v_{0}$.

   2. Montrer que $\left(v_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

   3. Exprimer $v_{n}$ en fonction de n. En déduire que $u_{n}=180 000\times 1,05^{n} – 80 000$.

   4. Calculer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}}$.

Partie B

Le but de cette partie est de prévoir l’évolution de la population jusqu’en 2020, en utilisant le modèle théorique étudié à la Partie A.

1. Quel sera le nombre d’habitants de la ville au 1er janvier 2020 ?

2. A partir de quelle année la population de cette ville dépassera-t-elle 200 000 habitants ?