Démographie : utilisation d'une suite annexe

Au 1er janvier 2005, une ville en pleine expansion avait une population de $ 100 000 $ habitants.

Un bureau d'étude fait l'hypothèse qu'à partir du 1er janvier 2005 :

le nombre d'habitants de la ville augmente chaque année de 5% du fait des naissances et des décès;
du fait des mouvements migratoires, $ 4 000 $ personnes supplémentaires viennent s'installer chaque année dans cette ville.

Pour tout entier naturel n, on note $ u_{n} $ le nombre d'habitants de cette ville au 1er janvier de l'année $ 2005+n $.

Ainsi, $ u_{0}=100 000 $.

Calculer $ u_{1} $ et $ u_{2} $.
Justifier que, pour tout entier naturel n, $ u_{n+1}=1,05u_{n}+ 4 000 $.
Pour tout entier naturel n, on pose $ v_{n}=u_{n}+80 000 $.
1. Calculer $ v_{0} $.
2. Montrer que $ \left(v_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}} $ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
3. Exprimer $ v_{n} $ en fonction de n. En déduire que $ u_{n}=180 000\times 1,05^{n} - 80 000 $.
4. Calculer la limite de la suite $ \left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}} $.

Le but de cette partie est de prévoir l'évolution de la population jusqu'en 2020, en utilisant le modèle théorique étudié à la Partie A.

Quel sera le nombre d'habitants de la ville au 1er janvier 2020 ?
A partir de quelle année la population de cette ville dépassera-t-elle 200 000 habitants ?

Corrigé

$u_1 = u_0 + \dfrac{5}{100}u_0 + 4000 = 1,05 u_0 + 4000 = 1,05 \times 100\,000 + 4000 = 109\,000$.
De la même façon, on calcule $u_2 = 118\,450$.
$u_{n+1} = u_n + \dfrac{5}{100}u_n + 4000 \implies u_{n+1} = 1,05 u_n + 4000$.
Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose $v_n = u_n + 80\,000$.
1. $v_0 = u_0 + 80\,000 = 180\,000$.
2. $v_{n+1} = u_{n+1} + 80\,000 = 1,05 u_n + 4000 + 80\,000 = 1,05(u_n + 80\,000) = 1,05 v_n$.
  D'où $\dfrac{v_{n+1}}{v_n} = 1,05$, ce qui démontre que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $1,05$ et de premier terme $v_0 = 180\,000$.
3. On a alors $v_n = 180\,000 \times 1,05^n$, et on en déduit que :
  
  $u_n = v_n - 80\,000 = 180\,000 \times 1,05^n - 80\,000$
4. Puisque $1,05 > 1$, on en déduit que :
  
  $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$

En 2020, ce qui correspond à $n = 15$, on aura :

$u_{15} = 180\,000 \times 1,05^{15} - 80\,000 \approx 294\,207$

Il y aura environ $294\,207$ habitants dans la ville au 1er janvier 2020.
On trouve avec la calculatrice que $u_9 \approx 199\,239$ et $u_{10} \approx 213\,201$.
C'est donc en 2015 (pour $n=10$) que la population dépassera $200\,000$ habitants.

(Solution rédigée par Paki)