Croissance d’une suite
Soit la suite numérique $ \left(u_{n}\right) $ définie pour tout $ n \in \mathbb{N} $ par :
$ \left\{ \begin{matrix} u_{0}=2 \\ u_{n+1} =\dfrac{1}{2}u_{n}^{2}+1\end{matrix}\right. $
- Calculer $ u_{1}, u_{2}, u_{3} $ et $ u_{4} $. Quel semble être le sens de variation de cette suite ?
- Première méthode. Etudier le sens de variations de la fonction $ f : x\mapsto \dfrac{1}{2}x^{2}+1 $ sur $ \left[0; +\infty \right[ $.
En déduire le sens de variation de la suite $ \left(u_{n}\right) $. - Deuxième méthode. Calculer et étudier le signe de $ u_{n+1} - u_{n} $.
Retrouver le résultat de la question 2.
Corrigé
- On calcule les premiers termes de la suite :
- $ u_0 = 2 $
- $ u_1 = \dfrac{1}{2}u_0^2 + 1 = \dfrac{1}{2}(2)^2 + 1 = 2 + 1 = 3 $
- $ u_2 = \dfrac{1}{2}u_1^2 + 1 = \dfrac{1}{2}(3)^2 + 1 = \dfrac{9}{2} + 1 = \dfrac{11}{2} = 5,5 $
- $ u_3 = \dfrac{1}{2}u_2^2 + 1 = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{11}{2}\right)^2 + 1 = \dfrac{121}{8} + 1 = \dfrac{129}{8} = 16,125 $
$ u_4 = \dfrac{1}{2}u_3^2 + 1 = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{129}{8}\right)^2 + 1 = \dfrac{16641}{128} + 1 = \dfrac{16769}{128} \approx 131,01 $
La suite $ \left(u_n\right) $ semble être croissante.
Première méthode.
La fonction $ f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + 1 $ est la somme de la fonction $ x \mapsto \dfrac{1}{2}x^2 $, qui est strictement croissante sur $ [0; +\infty[ $, et d'une fonction constante.
Par conséquent, $ f $ est strictement croissante sur $ [0; +\infty[ $.On a $ u_{n+1} = f(u_n) $. Comme $ f $ est croissante sur $ [0; +\infty[ $ et que tous les termes de la suite sont positifs, on peut montrer par récurrence que la suite est croissante :
- Initialisation : $ u_0 = 2 $ et $ u_1 = 3 $, donc $ u_1 > u_0 $. La propriété est vraie au rang $ 0 $.
- Hérédité : Supposons que pour un certain entier $ n $, on ait $ u_n \geqslant u_{n-1} $.
Puisque $ f $ est croissante sur $ [0; +\infty[ $, alors $ f(u_n) \geqslant f(u_{n-1}) $, c'est-à-dire $ u_{n+1} \geqslant u_n $.
La propriété est donc héréditaire. Conclusion : La suite $ \left(u_n\right) $ est croissante.
ATTENTION : Montrer que $ f $ est une fonction croissante ne suffit pas à démontrer que $ (u_n) $ est une suite croissante.
Par exemple, si on définit $ v_0 = 4 $ et $ v_{n+1} = \sqrt{v_n} $, la fonction $ x \mapsto \sqrt{x} $ est croissante, mais la suite $ (v_n) $ est décroissante (car $ v_1 = 2 < v_0 $).Deuxième méthode.
Etudions le signe de $ u_{n+1} - u_n $ :$ u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{2}u_n^2 + 1 - u_n = \dfrac{1}{2}(u_n^2 - 2u_n + 2) $Le discriminant du trinôme $ x^2 - 2x + 2 $ est $ \Delta = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 < 0 $.
Le trinôme est donc toujours du signe du coefficient de $ x^2 $, c'est-à-dire positif.
Ainsi, $ u_{n+1} - u_n > 0 $ pour tout $ n $, ce qui confirme que la suite $ \left(u_n\right) $ est strictement croissante.
(Solution rédigée par Pierre Haret)