Soit la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par :
$$\left\{ \begin{matrix} u_{0}=2 \\ u_{n+1} =\dfrac{1}{2}u_{n}^{2}+1\end{matrix}\right.$$
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Calculer $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ et $u_{4}$. Quel semble être \le sens de variation de cette suite ?
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Première méthode. Etudier \le sens de variations de la fonction $f : x\mapsto \dfrac{1}{2}x^{2}+1$ sur $\left[0; +\infty \right[$.
En déduire \le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
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Deuxième méthode. Calculer et étudier \le signe de $u_{n+1} – u_{n}$.
Retrouver le résultat de la question 2.
