Coordonnées et représentations paramétriques
$ ABCDEFGH $ est un cube. $ I $ et $ J $ sont les deux points définis par :
- $ \overrightarrow{HI}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{HE} $
- $ \overrightarrow{HJ}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{HG} $
- On se place dans le repère $ \left(D; \overrightarrow{DA}; \overrightarrow{DC}; \overrightarrow{DH}\right) $.
Préciser les coordonnées des points $ A, B, C, D, E, F, G, H, I, J $ dans ce repère. Aucune justification n'est demandée pour les coordonnées des sommets du cube. - Donner une représentation paramétrique de la droite $ \left(AI\right) $ et de la droite $ \left(CJ\right) $
- Montrer que les droites $ \left(AI\right) $ et $ \left(CJ\right) $ sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.
Corrigé
- $ A\left(1 ; 0 ; 0\right) $
$ B\left(1 ; 1 ; 0\right) $
$ C\left(0 ; 1 ; 0\right) $
$ D\left(0 ; 0 ; 0\right) $
$ E\left(1 ; 0 ; 1\right) $
$ F\left(1 ; 1 ; 1\right) $
$ G\left(0 ; 1 ; 1\right) $
$ H\left(0 ; 0 ; 1\right) $
$ \overrightarrow{DI}=\overrightarrow{DH}+\overrightarrow{HI} = \overrightarrow{DH}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{HE} $
Les coordonnées de $ \overrightarrow{DH} $ et $ \overrightarrow{HE} $ sont $ \overrightarrow{DH} \left(0 ; 0 ; 1\right) $ et $ \overrightarrow{HE} \left(1 ; 0 ; 0\right) $
Les coordonnées de $ \overrightarrow{DI} $ et du point $ I $ sont donc $ I \left(\dfrac{1}{3} ; 0 ; 1\right) $
Avec un calcul similaire on trouve $ J \left(0 ; \dfrac{1}{3} ; 1\right) $ La droite $ \left(AI\right) $ passe par le point $ A\left(1 ; 0 ; 0\right) $ et est dirigée par le vecteur $ \overrightarrow{AI}\left( - \dfrac{2}{3} ; 0 ; 1\right) $. Pour éviter l'emploi de fraction, on peut dire que le vecteur $ 3\overrightarrow{AI}\left( - 2 ; 0 ; 3\right) $ est également un vecteur directeur de $ \left(AI\right) $.
Une représentation paramétrique de la droite $ \left(AI\right) $ est donc :
$ \left\{ \begin{matrix} x=1 - 2t \\ y=0 \\ z=3t \end{matrix}\right. $avec
$ t \in \mathbb{R} $Remarque :Cette représentation n'est pas unique. Le système :
$ \left\{ \begin{matrix} x=1 - \dfrac{2}{3}t \\ y=0 \\ z=t \end{matrix}\right. $avec
$ t \in \mathbb{R} $par exemple, est lui aussi correct.
Avec un raisonnement identique on montre que le système :
$ \left\{ \begin{matrix} x=0 \\ y=1 - 2t \\ z=3t \end{matrix}\right. $avec
$ t \in \mathbb{R} $est une représentation paramétrique de la droite $ \left(CJ\right) $
Les droites $ \left(AI\right) $ et $ \left(CJ\right) $ sont sécantes en un point $ M\left(x ; y ; z\right) $ s'il existe deux réels $ t $ et $ t^{\prime} $ tels que simultanément :
$ \left\{ \begin{matrix} x=1 - 2t \\ y=0 \\ z=3t \end{matrix}\right. \qquad $et
$ \qquad \left\{ \begin{matrix} x=0 \\ y=1 - 2t^{\prime} \\ z=3t^{\prime} \end{matrix}\right. $Remarque : Attention à remplacer $ t $ par $ t^{\prime} $ dans le second système car les paramètres ne sont pas nécessairement égaux dans les deux représentations paramétriques.
Cela entraine :
$ \left\{ \begin{matrix} 1 - 2t=0 \\ 0=1 - 2t^{\prime} \\ 3t=3t^{\prime} \end{matrix}\right. $
Ce système admet une solution : $ t=\dfrac{1}{2} $, $ t^{\prime}=\dfrac{1}{2} $ et on obtient alors :
$ \left\{ \begin{matrix} x=0 \\ y=0 \\ z=\dfrac{3}{2} \end{matrix}\right. $
Les droites $ \left(AI\right) $ et $ \left(CJ\right) $ sont donc sécantes en un point $ M\left(0 ; 0 ; \dfrac{3}{2}\right) $