Déterminer la primitive de la fonction $x\mapsto 3x^{2}+4x+1$ qui s’annule pour $x=1$
Corrigé
On sait qu’une primitive de la fonction $x\mapsto x^{n}$ est $x\mapsto \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$
Les primitives de la fonction $x\mapsto 3x^{2}+4x+1$ sont donc les fonctions $F$ de la forme :
$F\left(x\right)=3\times \dfrac{x^{3}}{3}+4\times \dfrac{x^{2}}{2}+x+k=x^{3}+2x^{2}+x+k$
où $k$ est une constante réelle.
On veut que $f$ s’annule pour $x=1$ c’est à dire :
$F\left(1\right)=0$
$1^{3}+2\times 1^{2}+1+k=0$
$k= – 4$
La primitive cherchée est donc la fonction $F$ définie par :
$F\left(x\right)=x^{3}+2x^{2}+x – 4$