D’après Bac ES Liban 2008
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l’intervalle $\left[ – 4 ; 6\right]$.
On note $f^{\prime}$ sa fonction dérivée. La courbe $\Gamma$ représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal est tracée ci-dessous ainsi que la droite $\Delta$ d’équation $y=x$.
La courbe $\Gamma$ et la droite $\Delta$ se coupent au point $E$ d’abscisse $2$.
On sait par ailleurs que :
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la courbe $\Gamma$ admet des tangentes parallèles à l’axe des abscisses aux points $B \left( – 2 ; 6,5\right)$ et $C\left(1 ; 1,75\right)$,
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la droite $\left(EF\right)$ est la tangente à la courbe $\Gamma$ au point $E$ ; $F$ est le point de coordonnées $\left(4 ; 3\right)$
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Dans cette question, déterminer par lecture graphique et sans justification :
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les valeurs de $f^{\prime}\left( – 2\right)$ et $f^{\prime}\left(2\right)$ ;
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les valeurs de $x$ dans l’intervalle $\left[ – 4 ; 6\right]$ vérifiant $f^{\prime}\left(x\right)\geqslant 0$ ;
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les valeurs de $x$ dans l’intervalle $\left[ – 4 ; 6\right]$ vérifiant $f\left(x\right) \leqslant x$.
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Soit $g$ la fonction définie sur ]-4 ; 6] par $g\left(x\right)=\ln\left[f\left(x\right)\right]$. Déterminer par lecture graphique et avec justification les variations de $g$
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Encadrement d’une intégrale
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative non fructueuse sera prise en compte dans l’évaluation.-
Soit l’intégrale $I=\int_{ 2}^{ 4} f\left(x\right) dx$. Interpréter graphiquement $I$.
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Proposer un encadrement de l’intégrale $I$ par deux nombres entiers consécutifs. Justifier.
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