[Bac] Approximation d’une loi binomiale par une loi normale
Extrait d'un exercice du Bac S Pondichéry 2013. Le sujet complet est disponible ici : Bac S Pondichéry 2013 Une entreprise emploie 220 salariés. On admet que la probabilité pour qu'un salarié soit malade une semaine donnée est égale à $p=0,05$. On suppose que l'état de santé d'un salarié ne dépend pas de l'état de santé de ses collègues. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée.
- Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. Calculer l'espérance mathématique $\mu $ et l'écart type $\sigma $ de la variable aléatoire $X$.
On admet que l'on peut approcher la loi de la variable aléatoire $\dfrac{X-\mu }{\sigma }$ par la loi normale centrée réduite c'est-à-dire de paramètres $0$ et $1$. On note $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. Le tableau suivant donne les probabilités de l'évènement $Z < x$ pour quelques valeurs du nombre réel $x$.
$x$ -1,55 -1,24 -0,93 - 0,62 - 0,31 $P\left(Z < x\right)$ 0,061 0,108 0,177 0,268 0,379 $x$ 0,00 0,31 0,62 0,93 1,24 1,55 $P\left(Z < x\right)$ 0,500 0,621 0,732 0,823 0,892 0,939 Calculer, au moyen de l'approximation proposée en question b., une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la probabilité de l'évènement : "le nombre de salariés absents dans l'entreprise au cours d'une semaine donnée est supérieur ou égal à 7 et inférieur ou égal à 15".
Corrigé
- Pour un salarié donné, l'évènement $S$ : "Le salarié est malade" correspond à une épreuve de Bernouilli de probabilité $p\left(S\right)=0,05$ Si l'on s'intéresse à l'état de santé des 220 employés, on répète 220 épreuves de Bernouilli identiques et indépendantes puisque par hypothèse : l'état de santé d'un salarié ne dépend pas de l'état de santé de ses collègues. La variable aléatoire $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n=220$ et $p=0,05$. L'espérance mathématique de $X$ est : $\mu =np=220\times 0,05=11$ Son écart-type est : $\sigma =\sqrt{np\left(1-p\right)}=\sqrt{10,45}\approx 3,23$ à $10^{-2}$ près
- La probabilité cherchée est $p\left(7\leqslant X\leqslant 15\right)$. Or : $p\left(7\leqslant X\leqslant 15\right)=p\left(\dfrac{7-\mu }{\sigma }\leqslant \dfrac{X-\mu }{\sigma }\leqslant \dfrac{11-\mu }{\sigma }\right)\approx p\left(-1,24\leqslant Z\leqslant 1,24\right) $ $p\left(7\leqslant X\leqslant 15\right)\approx p\left(Z\leqslant 1,24\right)-p\left(Z\leqslant -1,24\right)\approx 0,892-0,108$ $p\left(7\leqslant X\leqslant 15\right)\approx 0,78$ à $10^{-2}$ près.