Introduction
Il arrive qu’une variable aléatoire puisse prendre n’importe quelle valeur sur $\mathbb{R}$ ou sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$. On parle alors de variable aléatoire continue.
Pour une telle variable, les événements qui vont nous intéresser ne sont plus $(X=5)$, $(X=20)$, etc… , mais $(X \leqslant 5)$, $(5 \leqslant X \leqslant 20)$, etc…
1. Généralités
Définition
Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $I=\left[a;b\right]$ telle que
$ \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=1. $
On dit que $X$ est une variable aléatoire réelle continue de densité $f$ si et seulement si pour tout $x_{1} \in I$ et tout $x_{2} \in I $ ($x_{1}\leqslant x_{2}$) :
$p\left(x_{1}\leqslant X\leqslant x_{2}\right)=\int_{x_{1}}^{x_{2}}f\left(x\right)dx$
Exemple
La fonction $f$ définie sur $I=\left[0;2\right]$ par $f\left(x\right)=\dfrac{x}{2}$ est une fonction continue et positive sur $I$.
La fonction $F : x \longmapsto \dfrac{x^2}{4}$ est une primitive de $f$ sur $I$, par conséquent :
$\int_{0}^{2}f\left(x\right)dx=\left[\dfrac{x^{2}}{4}\right]_{0}^{2}=1$.
$f$ est donc une densité de probabilité.
Soit X une variable aléatoire réelle à valeurs dans $I$ de densité $f$, on a alors, par exemple :
$P\left(1\leqslant X\leqslant 1,5\right)=\int_{1}^{1,5}f\left(x\right)dx$.
$P\left(1\leqslant X\leqslant 1,5\right)$ est donc l’aire (en u.a.) colorée ci-dessous :
Un calcul simple montre que $P\left(1\leqslant X\leqslant 1,5\right)=\left[\dfrac{x^{2}}{4}\right]_{1}^{1,5}=0,3125$.
Remarques
-
On peut étendre cette définition aux cas où l’une ou les deux bornes $a$ et $b$ sont infinies.
Dans ce cas, on remplace la condition $\int_{a}^{ b}f\left(x\right)dx=1$ par une condition portant sur une limite; par exemple si $b$ vaut $+\infty $, la condition $\int_{a}^{ b}f\left(x\right)dx=1$ deviendra $\lim\limits_{y\rightarrow +\infty }\int_{a}^{ y}f\left(x\right)dx=1$
-
Comme indiqué en introduction, les événements du type $\left(X=k\right)$ ne sont pas intéressants car pour tout $k$ appartenant à $I$, $p\left(X=k\right)=\int_{k}^{ k}f\left(x\right)dx=0$.
-
On peut employer indifféremment des inégalités larges ou strictes :
$p\left(x_{1} < X < x_{2}\right)=p\left(x_{1}\leqslant X\leqslant x_{2}\right)$.
Définition
L’espérance mathématique d’une variable aléatoire $X$ qui suit une loi de densité $f$ sur $\left[a;b\right]$ est le réel noté $E\left(X\right)$ défini par :
$E\left(X\right)=\int_{a}^{b}xf\left(x\right)dx$.
Exemple
Si l’on reprend l’exemple de la fonction $f$ définie sur $I=\left[0;2\right]$ par $f\left(x\right)=\dfrac{x}{2}$, l’espérance mathématique est :
$E\left(X\right)=\int_{0}^{2}xf\left(x\right)dx$$=\int_{0}^{2}\dfrac{x^{2}}{2}dx$$=\left[\dfrac{x^{3}}{6}\right]_{0}^{2}$$=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}$.
2. Loi uniforme sur un intervalle
Définition
On dit qu’une variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur l’intervalle $\left[a~;~b\right]$ si sa densité de probabilité $f$ est constante sur $\left[a~;~b\right]$.
Cette densité vaut alors, pour tout réel $x \in [a~;~b]$ :
$ f\left(x\right)=\dfrac{1}{b – a}. $
Exemple
La densité de la loi uniforme sur l’intervalle $\left[0, 2\right]$ est représentée ci-dessous :
Densité de la loi uniforme sur l’intervalle $\left[0, 2\right]$
Remarque
Une primitive de la fonction $x \longmapsto \dfrac{1}{b – a}$ sur $[a~;~b]$ est $x \longmapsto \dfrac{x}{b – a}$.
On vérifie alors que :
$\int_{a}^{b} \dfrac{1}{b – a} dx=\left[\dfrac{x}{b – a}\right]_{a}^{b}=1$.
Propriété
Si $X$ suit une loi uniforme sur $\left[a;b\right]$, alors pour tous réels $c$ et $d$ compris entre $a$ et $b$ avec $c < d$ :
$p\left(c\leqslant X\leqslant d\right) = \dfrac{d – c}{b – a}$.
Démonstration
En effet, si $a\leqslant c < d \leqslant b$ alors :
$p\left(c \leqslant X\leqslant d \right)=\int_{c}^{d}\dfrac{1}{b – a}dx$$=\dfrac{d – c}{b – a}$
Théorème
L’espérance mathématique d’une variable aléatoire $X$ qui suit une loi uniforme sur $\left[a;b\right]$ est :
$E\left(X\right)=\dfrac{a+b}{2}$.
Démonstration
La fonction $x \longmapsto \dfrac{x^2}{2(b – a)}$ est une primitive de la fonction $x \longmapsto \dfrac{x}{b – a}$ sur $[a~;~b]$ ; par conséquent :
$E\left(X\right) =\int_{a}^{ b}\dfrac{x}{b – a}dx$
$\phantom{E\left(X\right)} =\left[\dfrac{x^{2}}{2\left(b – a\right)}\right]_{a}^{b}$
$\phantom{E\left(X\right)}=\dfrac{b^{2} – a^{2}}{2\left(b – a\right)}$
$\phantom{E\left(X\right)}=\dfrac{\left(b – a\right)\left(b+a\right)}{2\left(b – a\right)}$
$\phantom{E\left(X\right)}=\dfrac{a+b}{2}$.
3. Loi exponentielle de paramètre lambda
Définition
On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$ sur $\left[0;+\infty \right[$ si sa densité de probabilité $f$ est définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par :
$f\left(x\right)=\lambda \text{e}^{ – \lambda x}$.
Exemple
La densité de la loi exponentielle de paramètre $\lambda =1,5$ est la fonction $f$ définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=1,5 \text{e}^{ – 1,5 x}$.
Cette fonction est représentée ci-dessous :
Remarque
La fonction $x \longmapsto – \text{e}^{ – \lambda x}$ est une primitive de la fonction $x \longmapsto \lambda \text{e}^{ – \lambda x}$.
On vérifie alors que :
$\int_{0}^{+\infty } \lambda \text{e}^{ – \lambda x} dx=\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }\int_{0}^{t} \lambda \text{e}^{ – \lambda x} dx$
$\phantom{\int_{0}^{+\infty } \lambda \text{e}^{ – \lambda x} dx}=\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }\left[ – \text{e}^{ – \lambda x}\right]_{0}^{t}$
$\phantom{\int_{0}^{+\infty } \lambda \text{e}^{ – \lambda x} dx}=\lim\limits_{t\rightarrow +\infty } – \text{e}^{ – \lambda t}+1=1$.
Propriété
Si $X$ suit une exponentielle de paramètre $\lambda $ sur $\left[0;+\infty \right[$, alors pour tous réels positifs $x_{1}$ et $x_{2}$ :
-
$p\left(x_{1}\leqslant X\leqslant x_{2}\right) = \text{e}^{ – \lambda x_{1}} – \text{e}^{ – \lambda x_{2}}$
-
$p\left(X\geqslant x_{1}\right) = \text{e}^{ – \lambda x_{1}}$.
Démonstration
$p\left(x_{1}\leqslant X\leqslant x_{2}\right)=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\lambda \text{e}^{ – \lambda x} dx$
$\phantom{p\left(x_{1}\leqslant X\leqslant x_{2}\right)}=\left[ – \text{e}^{ – \lambda x}\right]_{x_{1}}^{x_{2}}$
$\phantom{p\left(x_{1}\leqslant X\leqslant x_{2}\right)}=\text{e}^{ – \lambda x_{1}} – \text{e}^{ – \lambda x_{2}}$
La seconde égalité s’obtient alors en faisant tendre $x_{2}$ vers $+\infty $.
Théorème
L’espérance mathématique d’une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda $ est :
$E\left(X\right)=\dfrac{1}{\lambda}$
Démonstration
Voir exercice : [ROC] Espérance mathématique d’une loi exponentielle.
Propriété
Soient $X$ une variable aléatoire qui suit une exponentielle de paramètre $\lambda $ et $x$ et $x_{0}$ deux réels, alors :
$p\left(X > x\right) = p_{(X > x_{0})}\left(X > x+x_{0}\right)$
On dit qu’une loi exponentielle est « sans vieillissement ».
Commentaire
Tout d’abord, rappelons que la notation $p_{(X > x_{0})}\left(X > x+x_{0}\right)$ indique la probabilité (conditionnelle) de l’événement $\left(X > x+x_{0}\right)$ sachant que l’événement $(X > x_{0})$ est réalisé.
Supposons que $X$ modélise la durée de vie d’une machine.
-
$p\left(X > x\right)$ correspond à la probabilité qu’une machine « neuve » fonctionne pendant une durée supérieure ou égale à $x$ ;
-
$p_{(X > x_{0})}\left(X > x+x_{0}\right)$ est la probabilité qu’une machine, qui a déjà fonctionné pendant une durée $x_0$, fonctionne encore pendant une durée supérieure ou égale à $x$.
Dans le cadre d’une loi exponentielle, ces probabilités sont égales ce qui explique l’expression « sans vieillissement ».
Démonstration
Voir exercice : Loi exponentielle – Bac S Métropole 2008.