1. Définition de la fonction logarithme népérien
Théorème et définition
Pour tout réel $x > 0$, l’équation $e^{y}=x$, d’inconnue $y$, admet une unique solution.
La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ qui à $x > 0$, associe le réel $y$ solution de l’équation $e^{y}=x$.
Remarque
Pour $x\leqslant 0$, par contre, l’équation $e^{y}=x$ n’a pas de solution
Propriétés
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Pour tout réel $x > 0$ et tout $y \in \mathbb{R}$ : $ e^{y}=x \Leftrightarrow y=\ln\left(x\right)$
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Pour tout réel $x > 0$ : $e^{\ln\left(x\right)}=x$
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Pour tout réel $x$ : $\ln\left(e^{x}\right)=x$
Remarques
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Ces propriétés se déduisent immédiatement de la définition
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On dit que les fonctions «logarithme népérien» et «exponentielle» sont réciproques
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On en déduit immédiatement : $\ln\left(1\right)=0$ et $\ln\left(e\right)=1$
2. Etude de la fonction logarithme népérien
Théorème
La fonction logarithme népérien est dérivable sur $\left]0 ;+\infty \right[$ et sa dérivée est définie par :
$\ln^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{1}{x}$
Démonstration
On dérive l’égalité $e^{\ln\left(x\right)}=x$ membre à membre.
D’après le théorème de dérivation des fonctions composées on obtient :
$\ln^{\prime}\left(x\right)\times e^{\ln\left(x\right)}=1$
C’est à dire :
$\ln^{\prime}\left(x\right)\times x=1$
$\ln^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{1}{x}$
Propriété
La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur $\left]0;+\infty \right[$.
Démonstration
Sa dérivée $\ln^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{1}{x}$ est strictement positive sur $\left]0;+\infty \right[$
Propriété
Soit $u$ une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$.
Alors la fonction $ f : x\mapsto \ln\left(u\left(x\right)\right)$ est dérivable sur $I$ et :
$f^{\prime}=\dfrac{u^{\prime}}{u}$
Démonstration
On utilise le théorème de dérivation de fonctions composées .
Exemple
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f\left(x\right)=\ln\left(x^{2}+1\right)$
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{2x}{x^{2}+1}$
Limites
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$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\ln\left(x\right)= – \infty $
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$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\ln\left(x\right)=+\infty $
Remarques
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Ces résultats permettent de tracer le tableau de variation et la courbe représentative de la fonction logarithme népérien :
Tableau de variation de la fonction logarithme népérien
Graphique de la fonction logarithme népérien
Théorème ( «Croissance comparée»)
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$\lim\limits_{x\rightarrow 0}x \ln x=0$
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$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{\ln x}{x}=0$
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$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\ln\left(1+x\right)}{x}=1$
Remarque
Comme dans le cas de la fonction exponentielle, on peut généraliser les deux premières formules :
Pour tout entier $n > 1$:
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$\lim\limits_{x\rightarrow 0}x^{n} \ln x=0$
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$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{\ln x}{x^{n}}=0$
Théorème
Si $a$ et $b$ sont 2 réels strictement positifs :
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$\ln a=\ln b$ si et seulement si $a=b$
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$\ln a < \ln b$ si et seulement si $a < b$
Remarques
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Le théorème précédent résulte de la stricte croissance de la fonction logarithme népérien.
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En particulier, comme $\ln\left(1\right)=0$ : $\ln x < 0 \Leftrightarrow x < 1$. N'oubliez donc pas que $\ln\left(x\right)$ peut être négatif (si $0 < x < 1$); c'est une cause d'erreurs fréquente dans les exercices notamment avec des inéquations !
3. Propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien
Théorème
Si $a$ et $b$ sont 2 réels strictement positifs et si $n \in \mathbb{Z}$ :
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$\ln\left(ab\right)=\ln a+\ln b$
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$\ln\left(\dfrac{1}{a}\right)= – \ln a$
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$\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln a – \ln b$
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$\ln\left(a^{n}\right)=n \ln a $
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$\ln\left(\sqrt{a}\right)=\dfrac{1}{2} \ln a $
Exemples
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$\ln\left(4\right)=\ln\left(2^{2}\right)=2\ln\left(2\right)$
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Pour $x > 1$ : $\ln\left(\dfrac{x+1}{x – 1}\right)= \ln\left(x+1\right) – \ln\left(x – 1\right)$
Cette égalité peut être intéressante (pour calculer la dérivée par exemple) mais il faut que $x > 1$.
Si $x < - 1$, l'expression $\ln\left(\dfrac{x+1}{x - 1}\right)$ est définie mais pas $\ln\left(x+1\right) - \ln\left(x - 1\right)$.