1. Définitions
Définition
Limite infinie quand $x$ tend vers l’infini.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $\left[a; +\infty \right[$.
On dit que que $f\left(x\right)$ tend vers $+\infty $ quand $x$ tend vers $+\infty $ lorsque pour $x$ suffisamment grand, $f\left(x\right)$ est aussi grand que l’on veut. On écrit alors que $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f\left(x\right)=+\infty $.
$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f\left(x\right)=+\infty $
Remarque
On définit de façon similaire les limites :
$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f\left(x\right)= – \infty $ ; $\lim\limits_{x\rightarrow – \infty } f\left(x\right)=+\infty $ ; $\lim\limits_{x\rightarrow – \infty } f\left(x\right)= – \infty $.
Définition
Limite finie quand $x$ tend vers l’infini.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $\left[a ; +\infty \right[$.
On dit que que $f\left(x\right)$ tend vers $l$ quand $x$ tend vers $+\infty $ lorsque pour $x$ suffisamment grand, $f\left(x\right)$ est aussi proche de $l$ que l’on veut. On écrit alors que $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f\left(x\right)=l$.
$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f\left(x\right)=0$
Remarque
On définit de façon similaire la limite $\lim\limits_{x\rightarrow – \infty } f\left(x\right)=l$.
Définition
Si $\lim\limits_{x\rightarrow – \infty }f\left(x\right)=l$ ou $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)=l$, on dit que la droite d’équation $y=l$ est asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction $f$.
Exemple
Sur la courbe ci-dessus, la droite d’équation $y=0$ est asymptote horizontale à la courbe représentative de $f$.
Définition
Limite infinie quand $x$ tend vers un réel.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $\left]a; b\right[$ (avec $a < b$).
On dit que que $f\left(x\right)$ tend vers $+\infty $ quand $x$ tend vers $a$ par valeurs supérieures lorsque $f\left(x\right)$ est aussi grand que l’on veut quand $x$ se rapproche de $a$ en restant supérieur à $a$. On écrit alors $\lim\limits_{x\rightarrow a^+} f\left(x\right)=+\infty $ ou $\lim\limits_{\scriptstyle x\rightarrow a \atop\scriptstyle x > a} f\left(x\right)=+\infty $.
De même, on dit que que $f\left(x\right)$ tend vers $+\infty $ quand $x$ tend vers $b$ par valeurs inférieures lorsque $f\left(x\right)$ est aussi grand que l’on veut quand $x$ se rapproche de $b$ en restant inférieur à $b$. On écrit alors $\lim\limits_{x\rightarrow b^ – } f\left(x\right)=+\infty $ ou $\lim\limits_{\scriptstyle x\rightarrow b \atop\scriptstyle x < b} f\left(x\right)=+\infty $.
Enfin, si $c\in \left]a;b\right[$ , on dit que que $f\left(x\right)$ tend vers $+\infty $ quand $x$ tend vers $c$ si $f\left(x\right)$ tend vers $+\infty $ quand $x$ tend vers $c$ par valeurs supérieures et par valeurs inférieures. On écrit alors $\lim\limits_{x\rightarrow c} f\left(x\right)=+\infty $.
Remarque
On définit de façon symétrique $\lim\limits_{x\rightarrow a^ – } f\left(x\right)= – \infty $, $\lim\limits_{x\rightarrow a^+} f\left(x\right)= – \infty $ et $\lim\limits_{x\rightarrow a} f\left(x\right)= – \infty $ en remplaçant « $f\left(x\right)$ est aussi grand que l’on veut » par « $f\left(x\right)$ est aussi petit que l’on veut » dans la définition.
Définition
Si $\lim\limits_{x\rightarrow c^ – }f\left(x\right)=\pm \infty $ ou $\lim\limits_{x\rightarrow c^+}f\left(x\right)=\pm \infty $ ou $\lim\limits_{x\rightarrow c}f\left(x\right)=\pm \infty $, on dit que la droite d’équation $x=c$ est asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction $f$.
Exemple
Sur les trois courbes de la figure ci-dessous, la droite d’équation $x=0$ est asymptote verticale à la courbe représentative de $f$.
Définition
Limite finie quand x tend vers un réel.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $\left]a;b\right[$ (avec $a < b$).
On dit que que $f\left(x\right)$ tend vers $l$ quand $x$ tend vers $a$ par valeurs supérieures lorsque $f\left(x\right)$ se rapproche de $l$ quand x se rapproche de $a$ en restant supérieur à $a$.
On écrit alors $\lim\limits_{x\rightarrow a^+} f\left(x\right)=l$ ou $\lim\limits_{\begin{matrix}x\rightarrow a \\ x > a\end{matrix}} f\left(x\right)=l$.
De même, on dit que que $f\left(x\right)$ tend vers $l$ quand $x$ tend vers $b$ par valeurs inférieures lorsque $f\left(x\right)$ se rapproche de $l$ quand x se rapproche de $b$ en restant inférieur à $b$.
On écrit alors $\lim\limits_{x\rightarrow b^ – } f\left(x\right)=l$ ou $\lim\limits_{\begin{matrix}x\rightarrow b \\ x < b\end{matrix}} f\left(x\right)=l $.
Enfin, si $c\in \left]a; b\right[$ , on dit que que $f\left(x\right)$ tend vers $l$ quand $x$ tend vers $c$ si $f\left(x\right)$ tend vers $l$ quand $x$ tend vers $c$ par valeurs supérieures et par valeurs inférieures.
On écrit alors $\lim\limits_{x\rightarrow c} f\left(x\right)=l$.
2. Limites usuelles
Propriétés
Pour tout entier $n > 1$ :
-
$\lim\limits_{x\rightarrow – \infty }x^{n}=\left\{ \begin{matrix} – \infty \text{ si n est impair} \\ +\infty \text{ si n est pair} \end{matrix}\right. $
-
$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x^{n}=+\infty $
-
$\lim\limits_{x\rightarrow – \infty }\dfrac{1}{x^{n}}=0$
-
$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{1}{x^{n}}=0$
-
$\lim\limits_{x\rightarrow 0^ – }\dfrac{1}{x}= – \infty $
-
$\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty $
-
$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\sqrt{x}=+\infty $
-
$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\text{e}^{x} =+\infty $
-
$\lim\limits_{x\rightarrow – \infty } \text{e}^{ x } = 0$
3. Opérations sur les limites
Propriétés
Limite d’une somme.
$a$ désigne un réel ou $+\infty $ ou $ – \infty $.
| $\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right)$ | $\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left(x\right)$ | $\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right)+g\left(x\right)$ |
| $l$ | $l^{\prime}$ | $l+l^{\prime}$ |
| $l$ | $+\infty $ | $+\infty $ |
| $l$ | $ – \infty $ | $ – \infty $ |
| $+\infty $ | $+\infty $ | $+\infty $ |
| $ – \infty $ | $ – \infty $ | $ – \infty $ |
| $+\infty $ | $ – \infty $ | $F.I.$ |
$F.I.$ signifie forme indéterminée.
Remarque
« Forme indéterminée » ne signifie pas que la limite n’existe pas mais que les formules d’opérations sur les limites ne permettent pas de trouver directement limite. Pour la calculer, il faut alors « lever l’indétermination » par exemple en simplifiant une fraction (cf. fiches méthodes).
Propriétés
Limite d’un produit.
$a$ désigne un réel ou $+\infty $ ou $ – \infty $.
| $\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right)$ | $\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left(x\right)$ | $\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right)\times g\left(x\right)$ |
| $l$ | $l^{\prime}$ | $l\times l^{\prime}$ |
| $l\neq 0$ | $\pm \infty $ | $\left(signe\right)\infty $ |
| $\pm \infty $ | $\pm \infty $ | $\left(signe\right)\infty $ |
| $0$ | $\pm \infty $ | $F.I.$ |
-
$F.I.$ signifie forme indéterminée.
-
$\pm \infty $ signifie que la formule s’applique pour $+\infty $ et pour $ – \infty $.
-
$\left(signe\right)\infty $ signifie que l’on utilise la règle des signes usuelle :
$+\times +=+$
$+\times – = – $
$ – \times – =+$
pour déterminer si la limite vaut $+\infty $ ou $ – \infty $.
Propriétés
Limite d’un quotient.
$a$ désigne un réel ou $+\infty $ ou $ – \infty $.
| $\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right)$ | $\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left(x\right)$ | $\lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ |
| $l$ | $l^{\prime}\neq 0$ | $\dfrac{l}{l^{\prime}}$ |
| $l\neq 0$ | $0$ | $\left(signe\right)\infty $ |
| $0$ | $0$ | $F.I.$ |
| $l$ | $\pm \infty $ | $0$ |
| $\pm \infty $ | $l$ | $\left(signe\right)\infty $ |
| $\pm \infty $ | $\pm \infty $ | $F.I.$ |
Propriété
Limite d’une fonction composée.
$a$, $b$ et $c$ désignent des réels ou $+\infty $ ou $ – \infty $.
Si $\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=\color{red}{b}$ et $\lim\limits_{x\rightarrow \color{red}{b}}g\left(x\right)=c$ alors :
$\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left(f\left(x\right)\right)=c$.
Remarque
On pose souvent $X=f\left(x\right)$ («changement de variable») et on écrit alors :
$\lim\limits_{x\rightarrow a}X=\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=b$
$\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left(f\left(x\right)\right)=\lim\limits_{X\rightarrow b}g\left(X\right)=c$.
Exemple
On cherche à calculer :
$\lim\limits_{x\rightarrow – \infty }\sqrt{1+x^{2}}$.
On pose $X=1+x^{2}$. Alors :
$\lim\limits_{x\rightarrow – \infty }X=\lim\limits_{x\rightarrow – \infty }1+x^{2}=+\infty $
et
$\lim\limits_{x\rightarrow – \infty }\sqrt{1+x^{2}}=\lim\limits_{X\rightarrow +\infty }\sqrt{X}=+\infty $.
4. Théorèmes de comparaison
Théorèmes
-
Si $f\left(x\right)\geqslant g\left(x\right)$ sur un intervalle de la forme $\left[a;+\infty \right[$ et si $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }g\left(x\right)=+\infty $ alors :
$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)=+\infty $.
-
Si $f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right)$ sur un intervalle de la forme $\left[a;+\infty \right[$ et si $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }g\left(x\right)= – \infty $ alors :
$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)= – \infty $.
Théorème
Théorème des « gendarmes ».
Si $g\left(x\right)\leqslant f\left(x\right)\leqslant h\left(x\right)$ sur un intervalle de la forme $\left[a;+\infty \right[$ et si $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }g\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }h\left(x\right)=l$ alors :
$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)=l.$
Théorème des gendarmes
Remarque
On a des théorèmes similaires lorsque $x \rightarrow – \infty $.