Convexité
1. Fonction convexe - Fonction concave
Définition
Soient $ f $ une fonction dérivable sur un intervalle $ I $ et $ \mathcal{C}_{f} $ sa courbe représentative.
* On dit que $ f $ est convexe sur $ I $ si la courbe $ \mathcal{C}_{f} $ est au-dessus de toutes ses tangentes sur l'intervalle $ I $.
* On dit que $ f $ est concave sur $ I $ si la courbe $ \mathcal{C}_{f} $ est au-dessous de toutes ses tangentes sur l'intervalle $ I $.
Théorème
Si $ f $ est dérivable sur $ I $ :
* $ f $ est convexe sur $ I $ si et seulement si $ f^{\prime} $ est croissante sur $ I $
* $ f $ est concave sur $ I $ si et seulement si $ f^{\prime} $ est décroissante sur $ I $
Remarque
L'étude de la convexité se ramène donc à l'étude des variations de $ f^{\prime} $. Si $ f^{\prime} $ est dérivable, on donc est amené a étudier le signe la dérivée de $ f^{\prime} $. Cette dérivée s'appelle la dérivée seconde de $ f $ et se note $ f^{\prime\prime} $.
Théorème
Si $ f $ est dérivable sur $ I $ et si $ f^{\prime} $ est dérivable sur $ I $ (on dit aussi que $ f $ est 2 fois dérivable sur $ I $) :
* $ f $ est convexe sur $ I $ si et seulement si $ f^{\prime\prime} $ est positive ou nulle sur $ I $
* $ f $ est concave sur $ I $ si et seulement si $ f^{\prime\prime} $ est négative ou nulle sur $ I $
Exemple
* La fonction $ f : x \mapsto x^{2} $ est deux fois dérivable sur $ \mathbb{R} $.
Comme $ f^{\prime\prime} $ est positive sur $ \mathbb{R} $, $ f $ est convexe sur $ \mathbb{R} $.
* La fonction $ f : x \mapsto x^{3} $ est deux fois dérivable sur $ \mathbb{R} $.
$ f^{\prime\prime} \geqslant 0 $ sur $ [0; +\infty[ $, donc $ f $ est convexe sur $ [0; +\infty[ $.
$ f^{\prime\prime} \leqslant 0 $ sur $ ] - \infty ; 0] $, donc $ f $ est concave sur $ ] - \infty ; 0] $.
2. Point d'inflexion
Définition
Soient $ f $ une fonction dérivable sur un intervalle $ I $, $ \mathcal{C}_{f} $ sa courbe représentative et $ A(a;f(a)) $ un point de la courbe $ \mathcal{C}_{f} $.
On dit que $ A $ est un point d'inflexion de la courbe $ \mathcal{C}_{f} $, si et seulement si la courbe $ \mathcal{C}_{f} $ traverse sa tangente en $ A $.
Propriété
Si $ A $ est un point d'inflexion d'abscisse $ a $, $ f $ passe de concave à convexe ou de convexe à concave en $ a $.
Théorème
Soit $ f $ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $ I $ de courbe représentative $ \mathcal{C}_{f} $. Le point $ A $ d'abscisse $ a $ est un point d'inflexion de $ \mathcal{C}_{f} $ si et seulement si $ f^{\prime\prime} $ s'annule et change de signe en $ a $.
Exemple
La fonction définie par :
On a $ f^{\prime}(x)=x^{2} - 2x $ et $ f^{\prime\prime}(x)=2x - 2 $.
On vérifie bien que $ f^{\prime\prime} $ change de signe en $ 1 $. Donc le point $ A $ d'abscisse $ 1 $ et d'ordonnée $ f(1)=\dfrac{1}{3} $ est bien un point d'inflexion.
