Primitives et intégrales
1. Primitives d'une fonction
Définition
Soit $ f $ une fonction définie sur $ I $.
On dit que $ F $ est une primitive de $ f $ sur l'intervalle $ I $, si et seulement si $ F $ est dérivable sur $ I $ et pour tout $ x $ de $ I $, $ F^{\prime}(x)=f(x) $.
Exemple
La fonction $ F : x\mapsto x^{2} $ est une primitive de la fonction $ f : x\mapsto 2x $ sur $ \mathbb{R} $.
La fonction $ G : x\mapsto x^{2}+1 $ est aussi une primitive de cette même fonction $ f $.
Propriété
Si $ F $ est une primitive de $ f $ sur $ I $, alors les autres primitives de $ f $ sur $ I $ sont les fonctions de la forme $ F+k $ où $ k\in \mathbb{R} $.
Remarque
Une fonction continue ayant une infinité de primitives, il ne faut pas dire la primitive de $ f $ mais une primitive de $ f $.
Exemple
Les primitives de la fonction $ f : x\mapsto 2x $ sont les fonctions $ F : x\mapsto x^{2}+k $ où $ k \in \mathbb{R} $.
Propriété
Toute fonction continue sur un intervalle $ I $ admet des primitives sur $ I $.
Propriété
Si $ f $ et $ g $ sont deux fonctions définies sur $ I $ et admettant respectivement $ F $ et $ G $ comme primitives sur $ I $ et $ k $ un réel quelconque.
* $ F+G $ est une primitive de la fonction $ f+g $ sur $ I $.
* $ kF $ est une primitive de la fonction $ kf $ sur $ I $.
Propriété
Soit $ u $ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $ I $.
Les primitives de la fonction $ x \mapsto u^{\prime}(x)e^{u(x)} $ sont les fonctions $ x \mapsto e^{u(x)}+k $ (où $ k \in \mathbb{R} $)
Exemple
La fonction $ x\mapsto 2xe^{\left(x^{2}\right)} $ est de la forme $ u^{\prime}e^{u} $ avec $ u(x)=x^{2} $.
Ses primitives sont donc les fonctions $ x\mapsto e^{\left(x^{2}\right)}+k $ ($ k \in \mathbb{R} $)
2. Intégrales
Définition
Soit $ f $ une fonction continue sur un intervalle $ [a;b] $ et $ F $ une primitive de $ f $ sur $ [a;b] $. L'intégrale de $ a $ à $ b $ de $ f $ est le nombre réel noté $ \int_{a}^{b}f(x)dx $ défini par :
Remarque
L'intégrale ne dépend pas de la primitive de $ f $ choisie.
En effet si $ G $ est une autre primitive de $ f $, on a $ G=F+k $ donc :
Définition
Notations
On note souvent : $ F(b) - F(a)=\left[F(x)\right]_{a}^{b} $
On obtient avec cette notation :
Exemple
La fonction $ F $ définie par $ F(x)=\dfrac{x^{3}}{3} $ est une primitive de la fonction carré.
On a donc :
3. Propriétés de l'intégrale
Propriété
Relation de Chasles
Soit $ f $ une fonction continue sur $ [a;b] $ et $ c\in \left[a;b\right] $.
Propriété
Linéarité de l'intégrale
Soit $ f $ et $ g $ deux fonctions continues sur $ [a;b] $ et $ \lambda \in \mathbb{R} $.
* $ \int_{a}^{b}(f(x)+g(x))dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx $
* $ \int_{a}^{b} \lambda f(x)dx=\lambda \int_{a}^{b}f(x)dx $
Propriété
Comparaison d'intégrales
Soit $ f $ et $ g $ deux fonctions continues sur $ [a;b] $ telles que $ f\geqslant g $ sur $ [a;b] $.
Remarque
En particulier, en prenant pour $ g $ la fonction nulle on obtient si $ f(x)\geqslant 0 $ sur $ [a;b] $ :
4. Interprétation graphique
Définition
Le plan $ P $ est rapporté à un repère orthogonal $ (O,\vec{i},\vec{j}) $.
On appelle unité d'aire (u.a.) l'aire d'un rectangle dont les côtés mesurent $ ||\vec{i}|| $ et $ ||\vec{j}|| $.
Propriété
Si $ f $ est une fonction continue et positive sur $ [a;b] $, alors l'intégrale $ \int_{a}^{b}f(x)dx $ est l'aire, en unités d'aire, de la surface délimitée par :
* la courbe $ \mathcal{C}_{f} $
* l'axe des abscisses
* les droites (verticales) d'équations $ x=a $ et $ x=b $
Remarque
* Si $ f $ est négative sur $ [a;b] $, la propriété précédente appliquée à la fonction $ - f $ montre que $ \int_{a}^{b}f(x)dx $ est égale à l'opposé de l'aire délimitée par la courbe $ \mathcal{C}_{f} $, l'axe des abscisses, les droites d'équations $ x=a $ et $ x=b $
* Si le signe de $ f $ varie sur $ [a;b] $, on découpe $ [a;b] $ en sous-intervalles sur lesquels $ f $ garde un signe constant.
Propriété
Si $ f $ et $ g $ sont des fonctions continues et telles que $ f\leqslant g $ sur $ [a;b] $, alors l'aire de la surface délimitée par :
* la courbe $ \mathcal{C}_{f} $
* la courbe $ \mathcal{C}_{g} $
* les droites (verticales) d'équations $ x=a $ et $ x=b $
est égale (en unités d'aire) à :
Exemple
$ f $ et $ g $ définies par $ f(x)=x^{2} - x $ et $ g(x)=3x - x^{2} $ sont représentées par les paraboles ci-dessous.
L'aire colorée est égale (en unités d'aire) à :
