1. Primitives d’une fonction
Définition
Soit $f$ une fonction définie sur $I$.
On dit que $F$ est une primitive de $f$ sur l’intervalle $I$, si et seulement si $F$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x$ de $I$, $F^{\prime}\left(x\right)=f\left(x\right)$.
Exemple
La fonction $F : x\mapsto x^{2}$ est une primitive de la fonction $f : x\mapsto 2x$ sur $\mathbb{R}$.
La fonction $G : x\mapsto x^{2}+1$ est aussi une primitive de cette même fonction $f$.
Propriété
Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors les autres primitives de $f$ sur $I$ sont les fonctions de la forme $F+k$ où $k\in \mathbb{R}$.
Remarque
Une fonction continue ayant une infinité de primitives, il ne faut pas dire la primitive de $f$ mais une primitive de $f$.
Exemple
Les primitives de la fonction $f : x\mapsto 2x$ sont les fonctions $F : x\mapsto x^{2}+k$ où $k \in \mathbb{R}$.
Propriété
Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$.
Propriétés (Primitives des fonctions usuelles)
| Fonction $f$ | Primitives $F$ | Ensemble de validité |
| $0$ | $k$ | $\mathbb{R}$ |
| $a$ | $ax+k$ | $\mathbb{R}$ |
| $x^{n} ~ \left(n\in \mathbb{N}\right)$ | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+k$ | $\mathbb{R}$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\ln x+k$ | $\left]0;+\infty \right[$ |
| $e^{x}$ | $e^{x}+k$ | $\mathbb{R}$ |
Propriétés
Si $f$ et $g$ sont deux fonctions définies sur $I$ et admettant respectivement $F$ et $G$ comme primitives sur $I$ et $k$ un réel quelconque.
-
$F+G$ est une primitive de la fonction $f+g$ sur $I$.
-
$k F$ est une primitive de la fonction $k f$ sur $I$.
Propriétés
Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$.
Les primitives de la fonction $x \mapsto u^{\prime}\left(x\right)e^{u\left(x\right)}$ sont les fonctions $x \mapsto e^{u\left(x\right)}+k$ (où $k \in \mathbb{R}$)
Exemple
La fonction $x\mapsto 2xe^{\left(x^{2}\right)}$ est de la forme $u^{\prime}e^{u}$ avec $u\left(x\right)=x^{2}$.
Ses primitives sont donc les fonctions $x\mapsto e^{\left(x^{2}\right)}+k \left(k \in \mathbb{R}\right)$
2. Intégrales
Définition
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $\left[a ; b\right]$ et $F$ une primitive de $f$ sur $\left[a;b\right]$.
L’intégrale de $a$ à $b$ de $f$ est le nombre réel noté $\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx$ défini par:
$\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right) – F\left(a\right)$
Remarque
L’intégrale ne dépend pas de la primitive de $f$ choisie.
En effet si $G$ est une autre primitive de $f$, on a $G=F+k$ donc :
$G\left(b\right) – G\left(a\right)=F\left(b\right)+k – \left(F\left(a\right)+k\right)=F\left(b\right) – F\left(a\right)$
Notations
On note souvent : $F\left(b\right) – F\left(a\right)=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}$
On obtient avec cette notation :
$\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}$
Exemple
La fonction $F$ définie par $F\left(x\right)=\dfrac{x^{3}}{3}$ est une primitive de la fonction carré.
On a donc :
$\int_{0}^{1}x^{2}dx=\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{3} – \dfrac{0}{3}=\dfrac{1}{3}$
3. Propriétés de l’intégrale
Propriété
Relation de Chasles
Soit $f$ une fonction continue sur $\left[a;b\right]$ et $c\in \left[a;b\right]$.
$\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=\int_{a}^{c}f\left(x\right)dx+\int_{c}^{b}f\left(x\right)dx$
Propriété
Linéarité de l’intégrale
Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $\left[a;b\right]$ et $\lambda \in \mathbb{R}$.
-
$\int_{a}^{b}f\left(x\right)+g\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx+\int_{a}^{b}g\left(x\right)dx$
-
$\int_{a}^{b} \lambda f\left(x\right)dx=\lambda \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx$
Propriété
Comparaison d’intégrales
Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $\left[a;b\right]$ telles que $f\geqslant g$ sur $\left[a;b\right]$.
$\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx\geqslant \int_{a}^{b}g\left(x\right)dx$
Remarque
En particulier, en prenant pour $g$ la fonction nulle on obtient si $f\left(x\right)\geqslant 0$ sur $\left[a;b\right]$:
$\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx\geqslant 0$
4. Interprétation graphique
Définition
Le plan $P$ est rapporté à un repère orthogonal $\left(O,\vec{i},\vec{j}\right)$.
On appelle unité d’aire (u.a.) l’aire d’un rectangle dont les côtés mesurent $||\vec{i}||$ et $||\vec{j}||$.
Unité d’aire dans le cas d’un repère orthonormé
Propriété
Si $f$ est une fonction continue et positive sur $\left[a;b\right]$, alors l’intégrale $\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx$ est l’aire, en unités d’aire, de la surface délimitée par :
-
la courbe $C_{f}$
-
l’axe des abscisses
-
les droites (verticales) d’équations $x=a$ et $x=b$
Exemple
L’aire colorée ci-dessus est égale (en unités d’aire) à $\int_{1}^{3}f\left(x\right)dx$
Remarques
-
Si $f$ est négative sur $\left[a;b\right]$, la propriété précédente appliquée à la fonction $ – f$ montre que
$\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx$ est égale à l’opposé de l’aire délimitée par la courbe $C_{f}$, l’axe des abscisses, les droites d’équations $x=a$ et $x=b$
-
Si le signe de $f$ varie sur $\left[a;b\right]$, on découpe $\left[a;b\right]$ en sous-intervalles sur lesquels $f$ garde un signe constant.
Propriété
Si $f$ et $g$ sont des fonctions continues et telles que $f\leqslant g$ sur $\left[a;b\right]$, alors l’aire de la surface délimitée par :
-
la courbe $C_{f}$
-
la courbe $C_{g}$
-
les droites (verticales) d’équations $x=a$ et $x=b$
est égale (en unités d’aire) à :
$A=\int_{a}^{b}g\left(x\right) – f\left(x\right)dx$
Exemple
$f$ et $g$ définies par $f\left(x\right)=x^{2} – x$ et $g\left(x\right)=3x – x^{2}$ sont représentées par les paraboles ci-dessous :
L’aire colorée est égale (en unités d’aire) à :
$A=\int_{0}^{2}g\left(x\right) – f\left(x\right)dx $$=\int_{0}^{2} 4x – 2x^{2} $$=\left[2x^{2} – \dfrac{2}{3}x^{3}\right]_{0}^{2}=\dfrac{8}{3} \text{u.a.}$