Sujet 0 – Suites
Exercice 6
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
On considère la suite $ (u_n) $ définie par :
pour tout entier naturel $ n $
- Affirmation 1 : « $ u_4 = \dfrac{1}{9} $. »
- Affirmation 2 : « Pour tout entier naturel $ n $, $ u_n = \dfrac{1}{2n + 1} $. »
- Affirmation 3 : « La suite numérique $ (u_n) $ est minorée par $ 10^{ - 10} $. »
Corrigé
- Affirmation 1 : « $ u_4 = \dfrac{1}{9} $. »
Pour vérifier cette affirmation, calculons les premiers termes de la suite $ (u_n) $ :
$ u_0 = 1, $
$ u_1 = \dfrac{u_0}{1 + 2u_0} = \dfrac{1}{1 + 2 \times1} = \dfrac{1}{3}, $
$ u_2 = \dfrac{u_1}{1 + 2u_1} = \dfrac{\dfrac{1}{3}}{1 + 2 \times\dfrac{1}{3}} = \dfrac{\dfrac{1}{3}}{1 + \dfrac{2}{3}} = \dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{5}{3}} = \dfrac{1}{5}, $
$ u_3 = \dfrac{u_2}{1 + 2u_2} = \dfrac{\dfrac{1}{5}}{1 + 2 \times\dfrac{1}{5}} = \dfrac{\dfrac{1}{5}}{1 + \dfrac{2}{5}} = \dfrac{\dfrac{1}{5}}{\dfrac{7}{5}} = \dfrac{1}{7}, $
$ u_4 = \dfrac{u_3}{1 + 2u_3} = \dfrac{\dfrac{1}{7}}{1 + 2 \times\dfrac{1}{7}} = \dfrac{\dfrac{1}{7}}{1 + \dfrac{2}{7}} = \dfrac{\dfrac{1}{7}}{\dfrac{9}{7}} = \dfrac{1}{9} $
Ainsi, $ u_4 = \dfrac{1}{9} $ est vrai. Affirmation 2 : « Pour tout entier naturel $ n $, $ u_n = \dfrac{1}{2n + 1} $. »
Montrons par récurrence que $ u_n = \dfrac{1}{2n + 1} $ pour tout $ n $. Initialisation : pour $ n = 0 $,
$ u_0 = 1 = \dfrac{1}{2 \times 0 + 1} $La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : Supposons que pour un $ k $ donné, $ u_k = \dfrac{1}{2k + 1} $. Montrons que $ u_{k+1} = \dfrac{1}{2(k+1) + 1} $.
Par définition de la suite $ (u_n) $ :
$ u_{k+1} = \dfrac{u_k}{1 + 2u_k} $
En utilisant l'hypothèse de récurrence :
$ u_{k+1} = \dfrac{\dfrac{1}{2k + 1}}{1 + 2 \cdot \dfrac{1}{2k + 1}} = \dfrac{\dfrac{1}{2k + 1}}{1 + \dfrac{2}{2k + 1}} $ $ = \dfrac{\dfrac{1}{2k + 1}}{\dfrac{2k + 1 + 2}{2k + 1}} = \dfrac{\dfrac{1}{2k + 1}}{\dfrac{2k + 3}{2k + 1}} = \dfrac{1}{2k + 3} $Cela prouve que $ u_{k+1} = \dfrac{1}{2k + 3} $.
Conclusion : Donc, par récurrence, $ u_n = \dfrac{1}{2n + 1} $ pour tout entier naturel $ n $.
L'affirmation 2 est donc vraie.
- Affirmation 3 : « La suite numérique $ (u_n) $ est minorée par $ 10^{ - 10} $. »
La suite $ (u_n) $ est à termes positifs et d'après la question précédente il est facile de remarquer qu'elle est strictement décroissante ; donc, d'après le théorème de convergence monotone, la suite $ (u_n) $ est convergente.
Si l'on suppose que cette suite est minorée par $ 10^{ - 10} $, cela entraîne que sa limite est supérieure ou égale à $ 10^{ - 10} $ ; or, d'après la question précédente, on constate que $ \lim\limits_{ n \rightarrow +\infty } u_n= 0 $.
On aboutit alors à une contradiction.
L'affirmation 3 est donc fausse.
Conclusion :
- Vrai : $ u_4 = \dfrac{1}{9} $.
- Vrai : $ u_n = \dfrac{1}{2n + 1} $ pour tout entier naturel $ n $.
- Faux : La suite $ (u_n) $ n'est pas minorée par $ 10^{ - 10} $.