[Bac] Probabilités – Loi normale
Extrait d'un exercice du Bac S Polynésie 2013.
On considère la variable aléatoire $ X $ qui, à chaque chanson stocké sur le lecteur MP3, associe sa durée exprimée en secondes et on établit que $ X $ suit la loi normale d'espérance 200 et d'écart-type 20. On pourra utiliser le tableau fourni en annexe dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche. On écoute un morceau musical au hasard.
- Donner une valeur approchée à $ 10^{ - 3} $ près de $ P\left(180\leqslant X\leqslant 220\right) $.
- Donner une valeur approchée à $ 10^{ - 3} $ près de la probabilité que le morceau écouté dure plus de 4 minutes.
Annexe : Tableau de la loi normale
Si $ X $ est une variable aléatoire normale d'espérance 200 et d'écart-type 20 :
| $ b $ | $ P\left(X\leqslant b\right) $ |
|---|---|
| 140 | 0,001 |
| 150 | 0,006 |
| 160 | 0,023 |
| 170 | 0,067 |
| 180 | 0,159 |
| 190 | 0,309 |
| 200 | 0,500 |
| 210 | 0,691 |
| 220 | 0,841 |
| 230 | 0,933 |
| 240 | 0,977 |
| 250 | 0,994 |
| 260 | 0,999 |
Corrigé
On cherche à calculer la probabilité $ P(180 \leqslant X \leqslant 220) $.
D'après le tableau fourni en annexe, on a :
$ P(X \leqslant 220) \approx 0,841 $
$ P(X \leqslant 180) \approx 0,159 $On utilise la propriété :
$ P(180 \leqslant X \leqslant 220) = P(X \leqslant 220) - P(X \leqslant 180) $En remplaçant par les valeurs du tableau :
$ P(180 \leqslant X \leqslant 220) \approx 0,841 - 0,159 $On obtient finalement :
$ P(180 \leqslant X \leqslant 220) \approx 0,682 $Remarque : On peut noter que $ 180 = \mu - \sigma $ et $ 220 = \mu + \sigma $. Le résultat est cohérent avec la valeur du cours $ P(\mu - \sigma \leqslant X \leqslant \mu + \sigma) \approx 0,683 $.
La durée de 4 minutes est égale à :
$ 4 \times 60 = 240 $ secondes.On cherche la probabilité que le morceau dure plus de 240 secondes, soit $ P(X > 240) $.
D'après la propriété de l'événement contraire :
$ P(X > 240) = 1 - P(X \leqslant 240) $D'après le tableau en annexe :
$ P(X \leqslant 240) \approx 0,977 $D'où :
$ P(X > 240) \approx 1 - 0,977 $On obtient :
$ P(X > 240) \approx 0,023 $La probabilité que le morceau écouté dure plus de 4 minutes est d'environ $ 0,023 $.