Factorielle de 100

Écrivons la décomposition de 100! en facteurs premiers de la manière suivante :

$ n_p $ représentant l'exposant de $ p $ dans la décomposition de 100! en facteurs premiers.

Le nombre de zéros terminaux dans l'écriture décimale de 100! correspond au nombre de facteurs 10 que l'on peut former à partir de cette décomposition.

Or, pour obtenir un facteur 10, il faut regrouper un facteur 2 et un facteur 5. Le nombre de zéros terminaux de 100! sera donc le plus petit des deux nombres $ n_2 $ et $ n_5 $.

Dans le produit $ 100! = 100 \times 99 \times 98 \times97 \times96 \times95 \times \cdots \times 1 $, un facteur sur deux est divisible par 2 tandis qu'un sur cinq est divisible par 5. Le nombre $ n_2 $ sera donc supérieur au nombre $ n_5 $ et nombre de zéros terminaux de 100! sera donc $ n_5 $.

Il reste alors à déterminer l'exposant de 5 dans la décomposition de 100! en facteurs premiers.

• parmi les 100 premiers entiers naturels non nuls, 20 d'entre eux (5, 10, 15, ... , 100) sont divisibles par 5,
• de plus, parmi ces entiers, quatre sont divisibles par 5$ ^2 $= 25 (25, 50, 75 et 100) ce qui fourni 4 facteurs 5 supplémentaires,
• par contre, aucun d'entre eux n'est divisible par 5$ ^3 $= 125 puisque 125 > 100.

Au total la décomposition de 100! en facteurs premiers fait apparaître 24 fois le facteur 5 donc l'écriture décimale de 100! se termine par 24 zéros.