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On considère l'équation $ \left( E \right) $ suivante :
$ \ln \left( x \right) = - 1 $
L'équation $ \left( E \right)$ n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$.
C'est faux.
L'équation $ (E) $ admet une solution dans $\mathbb{R}$ :
$ \ln \left( x \right) = - 1 \Leftrightarrow x = \text{e}^{ - 1 } = \dfrac{ 1 }{ \text{e} } $
donc $ S = \left\{ \dfrac{ 1 }{ \text{e} } \right\}. $
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Soit l'inéquation :
$ \ln \left( 1+x^2 \right) \geqslant 0. $
L'ensemble des solutions de cette inéquation est $ S = \mathbb{R}. $
C'est vrai.
Tout d'abord, remarquons que $ 1+x^2 > 0$ donc $ \ln \left( 1+x^2 \right) $ est bien défini pour tout réel $x$.
$ \ln \left( 1+x^2 \right) \geqslant 0 \Leftrightarrow 1+x^2 \geqslant \text{e}^{ 0 } $
$\Leftrightarrow 1+x^2 \geqslant 1 $⩾1
$\Leftrightarrow x^2 \geqslant 0 $⩾0
et cette inégalité est vraie pour tout $x \in \mathbb{R}.$
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On considère l'inéquation :
$ \ln \left( x^2 + 3x \right) < 2 \ln 2 $<2ln2
L'ensemble des solutions de cette inéquation est $ S = \left] - 4~;~1 \right[. $
C'est faux.
$x^2 + 3x = x(x+3)$ a pour racines $ - 3 $ et $0$ et est strictement positif si et seulement si $x \in \left] - \infty ~;~ - 3\right[ \cup \left] 0~;~ +\infty \right[. $
Donc l'équation n'est définie que sur $ \mathscr{D} = \left] - \infty ~;~ - 3\right[ \cup \left] 0~;~ +\infty \right[.$
Sur cet ensemble , on trouve en effet après calculs :
$\ln \left( x^2 + 3x \right) < 2 \ln 2 \Leftrightarrow x \in \left] - 4~;~1 \right[$<2ln2⇔x∈]−4 ; 1[
mais compte tenu de l'ensemble de définition :
$ S = \left] - 4 ~;~ - 3\right[ \cup \left] 0~;~1 \right[$
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Soit l'équation : $ \text{e}^{ 2x } - 3 \text{e}^{ x } + 2 = 0 $
L'ensemble des solutions de cette équation est $S = \left\{ 0~; \ln 2 \right\}.$
C'est vrai.
On effectue le changement de variable $X= \text{e}^{ x }$ :
$ \text{e}^{ 2x } - 3 \text{e}^{ x } + 2 = 0 \Leftrightarrow X^2 - 3X + 2 = 0 $
L'équation $ X^2 - 3X + 2 = 0 $ a pour racines $ X_1= 1 $ et $ X_2 = 2 $
Or :
$ \text{e}^{ x } = 1 \Leftrightarrow x = 0 $
$ \text{e}^{ x } = 2 \Leftrightarrow x= \ln 2. $
Donc $S = \left\{ 0~; \ln 2 \right\}.$
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On considère l'équation $ \left( E \right) $ ci-dessous :
$ x \ln \left( x \right) = 0 $
Dans $\mathbb{R}$, l'ensemble des solutions de $ (E) $ est $ S = \left\{ 0~; 1 \right\}. $
C'est faux.
$\ln \left( x \right) $ n'est défini que pour $x > 0 $ donc $ 0 $ ne peut pas être solution de cette équation.
La seule solution valable est donc $ 1$ (qui annule $ \ln (x) $).
$ S = \left\{ 1 \right\}.$
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L'ensemble des solutions de l'inéquation $ \ln \left( x+1 \right) \leqslant 1 $ est $ S = \left] - \infty~;~ \text{e} - 1 \right]. $
C'est faux.
$ \ln \left( x+1 \right) $ est défini sur l'intervalle $ \left] - 1~;~ +\infty \right[. $
Sur cet intervalle :
$ \ln \left( x+1 \right) \leqslant 1 \Leftrightarrow x+1 \leqslant \text{e} $
$ \Leftrightarrow x \leqslant \text{e} - 1 $
et compte tenu de l'ensemble de définition :
$ S = \left] - 1~;~\text{e} - 1 \right[.$
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