Quiz
$ ABCD $ est le tétraèdre représenté ci-dessous.
$I$ est le milieu de $ \left[ AD \right] $ et $J$ le milieu de $ \left[ BC \right]. $
Les droites $ \left( IJ \right) $ et $ \left( AB \right) $ sont sécantes.
C'est faux.
Les points $A$, $B$, $I$, $J$ ne sont pas coplanaires.
En effet, $A$, $B$ et $I$ appartiennent à la face $ ABD $ du tétraèdre et le point $J$ n'y appartient pas.
Les points $A$, $B$, $I$, $J$ n'étant pas coplanaires, les droites $ \left( IJ \right) $ et $ \left( AB \right) $ ne peuvent être sécantes.
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Sur la figure ci-dessous, $ ABCDE $ est une pyramide à base carrée.
$I$ est le milieu de $ \left[ BC \right]. $
Les droites $ \left( AI \right) $ et $ \left( DC \right) $ sont sécantes.
C'est vrai.
Les droites $ \left( AI \right) $ et $ \left( DC \right) $ sont toutes deux incluses dans le plan $ ABCD $ donc elles sont coplanaires.
Elles ne sont pas parallèles car la parallèle à $ \left( DC \right) $ passant par $A$ est la droite $ \left( AB \right) $ à laquelle $I$ n'appartient pas.
Les droites $ \left( AI \right) $ et $ \left( DC \right) $ sont donc sécantes.
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Sur le cube $ ABCDEFGH $ représenté ci-dessous, $I$ est le milieu de $ \left[ AB \right] $ et $J$ le milieu de $ \left[ HG \right]. $
Les droites $ \left( AH \right) $ et $ \left( IJ \right) $ sont parallèles.
C'est vrai.
Puisque $ ABCDEFGH $ est un cube, les arêtes $ \left( AI \right) $ et $ \left( HJ \right) $ sont parallèles et $ AI = HJ $.
Donc $ AIJH $ est un parallélogramme (c'est même un rectangle...) et les droites $ \left( AH \right) $ et $ \left( IJ \right) $ sont donc parallèles.
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$ABCDE$ est une pyramide à base carrée représentée ci-dessous.
$I$ est le milieu de $ \left[ AE \right] $ et $J$ le milieu de $ \left[ EC \right]. $
La droite $ \left( IJ \right) $ est parallèle au plan $ ABCD. $
C'est vrai.
Dans le triangle $ ACE $, $I$ est le milieu de $ \left[ AE \right] $ et $J$ est le milieu de $ \left[ CE \right]. $
Donc, d'après le théorème des milieux (vu au collège) $ (IJ) $ et $ (AC) $ sont parallèles.
Comme la droite $ \left( AC \right) $ est incluse dans le plan $ ABCD $, la droite $ \left( IJ \right) $ est parallèle au plan $ ABCD. $
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Sur la figure ci-dessous, $ ABCDEFGH $ est un cube et $I$ est le milieu de $ \left[ AB \right] . $
Les droites $ \left( FI \right) $ et $ \left( HD\right) $ sont sécantes.
C'est faux.
La droite $ \left( FI \right) $ est incluse dans le plan $ ABFE. $ La droite $ \left( HD\right) $ est incluse dans le plan $ DCGH. $
Comme les plans $ ABFE $ et $ DCGH $ sont parallèles, les droites $ \left( FI \right) $ et $ \left( HD\right) $ ne peuvent pas être sécantes.
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Sur le cube $ ABCDEFGH $ représenté ci-dessous, $J$ est le milieu de $ \left[ AB \right] $, $K$ le milieu de $ \left[ BC \right] $ et $L$ le milieu de $ [HG]. $
Les droites $ \left( JK \right) $ et $ \left( CL \right) $ sont sécantes.
C'est faux.
Les points $J$, $K$, $C$, $L$ ne sont pas coplanaires.
En effet, $J$, $K$ et $C$ appartiennent à la face $ ABCD $ du cube et le point $L$ n'y appartient pas.
Les points $J$, $K$, $C$, $L$ n'étant pas coplanaires, les droites $ \left( JK \right) $ et $ \left( CL \right) $ ne sont pas sécantes.
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