Méthode 1 : Factoriser le terme de plus haut degré
Méthode
Cette méthode s’emploie notamment lorsque l’on rencontre une forme indéterminée du type « $\infty – \infty $ » pour un polynôme ou « $\dfrac{\pm \infty }{\pm \infty }$ » pour une fonction rationnelle. Elle consiste à :
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mettre le terme de plus haut degré en facteur
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dans le cas d’une fraction, simplifier au maximum
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l’indétermination devrait avoir disparue et il est possible de calculer la limite à l’aide des règles de calcul usuelles
Exemple 1
Calculer $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } \left(x^{2} – 3x\right)$.
$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } x^{2}=+\infty $
$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } – 3x= – \infty $
On rencontre ici une forme indéterminée du type « $+\infty – \infty $ ».
On va mettre $x^{2}$ en facteur. Il ne s’agit pas d’une factorisation « classique » puisque $x^{2}$ n’apparaît pas dans le terme $ – 3x$
Il s’agit d’une factorisation « forcée » qui va faire apparaître des fractions dans le second facteur :
$x^{2} – 3x=x^{2}\left(1 – \dfrac{3x}{x^{2}}\right)=x^{2}\left(1 – \dfrac{3}{x}\right)$
Maintenant l’indétermination a été levée. On a :
$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( – \dfrac{3}{x}\right)=0$
$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left(1 – \dfrac{3}{x}\right)=1$
$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x^{2}=+\infty $
et par produit :
$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } x^{2}\left(1 – \dfrac{3}{x}\right)=+\infty $
En conclusion : $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } \left(x^{2} – 3x\right)=+\infty $
Exemple 2
On veut calculer $\lim\limits_{x\rightarrow – \infty } \dfrac{x^{2}+1}{x+1}$
$\lim\limits_{x\rightarrow – \infty } \left(x^{2}+1\right)=+\infty $
$\lim\limits_{x\rightarrow – \infty } \left(x+1\right)= – \infty $
On a une forme indéterminée du type « $\dfrac{+\infty }{ – \infty }$ »
On met $x^{2}$ en facteur au numérateur et $x$ en facteur au dénominateur :
$\dfrac{x^{2}+1}{x+1}=\dfrac{x^{2}\left(1+\dfrac{1}{x^{2}}\right)}{x\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}$
Puis on simplifie par $x$ :
$\dfrac{x^{2}\left(1+\dfrac{1}{x^{2}}\right)}{x\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}=\dfrac{x\left(1+\dfrac{1}{x^{2}}\right)}{1+\dfrac{1}{x}}$
L’indétermination a disparue ; en effet :
$\lim\limits_{x\rightarrow – \infty }\left(1+\dfrac{1}{x^{2}}\right)=1$
$\lim\limits_{x\rightarrow – \infty }x\left(1+\dfrac{1}{x^{2}}\right)= – \infty $
$\lim\limits_{x\rightarrow – \infty }\left(1+\dfrac{1}{x}\right)=1$
donc par quotient :
$\lim\limits_{x\rightarrow – \infty }\dfrac{x\left(1+\dfrac{1}{x^{2}}\right)}{1+\dfrac{1}{x}}= – \infty $
Finalement : $\lim\limits_{x\rightarrow – \infty } \dfrac{x^{2}+1}{x+1}= – \infty $
Méthode 2 : Multiplier par l’« expression conjuguée »
Méthode
Cette méthode s’emploie lorsque l’on a affaire une forme indéterminée du type « $\infty – \infty $ » dans une expression comportant des racines carrées (du type $\sqrt{A\left(x\right)} – \sqrt{B\left(x\right)}$ par exemple).
Cette méthode consiste à multiplier et à diviser par l’« expression conjuguée » de $\sqrt{A\left(x\right)} – \sqrt{B\left(x\right)}$, c’est à dire $\sqrt{A\left(x\right)}+\sqrt{B\left(x\right)}$.
Exemple
Calculer $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\sqrt{x} – \sqrt{x+1}$.
$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\sqrt{x}=+\infty $
$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\sqrt{x+1}=+\infty $
On rencontre donc une forme indéterminée du type « $+\infty – \infty $ ».
On va multiplier et diviser par $\sqrt{x} + \sqrt{x+1}$:
$\sqrt{x} – \sqrt{x+1}=\dfrac{\left(\sqrt{x} – \sqrt{x+1}\right)\left(\sqrt{x} + \sqrt{x+1}\right)}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}}$
On a une identité remarquable au numérateur :
$\dfrac{\left(\sqrt{x} – \sqrt{x+1}\right)\left(\sqrt{x} + \sqrt{x+1}\right)}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}}=\dfrac{\left(\sqrt{x}\right)^{2} – \left(\sqrt{x+1}\right)^{2}}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}}=\dfrac{x – \left(x+1\right)}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}}=\dfrac{ – 1}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}}$
Il n’y a plus d’indétermination :
$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left(\sqrt{x}\right)=+\infty $
$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left(\sqrt{x+1}\right)=+\infty $
donc par somme :
$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left(\sqrt{x} + \sqrt{x+1}\right)=+\infty $
et par quotient :
$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{ – 1}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}}=0$
En conclusion : $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\sqrt{x} – \sqrt{x+1}=0$
Méthode 3 : Utilisation de la définition du nombre dérivé
Cette méthode est détaillée sur cette page : Calcul de limites à l’aide de la définition du nombre dérivé