Fonction logarithme népérien
1. Définition de la fonction logarithme népérien
Définition
Théorème et définition
Pour tout réel $ x > 0 $, l'équation $ e^{y}=x $, d'inconnue $ y $, admet une unique solution.
La fonction logarithme népérien, notée $ \ln $, est la fonction définie sur $ ]0;+\infty[ $ qui à $ x > 0 $, associe le réel $ y $ solution de l'équation $ e^{y}=x $.
Remarque
Pour $ x \leqslant 0 $, par contre, l'équation $ e^{y}=x $ n'a pas de solution.
Propriété
* Pour tout réel $ x > 0 $ et tout $ y \in \mathbb{R} $ : $ e^{y}=x \Leftrightarrow y=\ln(x) $.
* Pour tout réel $ x > 0 $ : $ e^{\ln(x)}=x $.
* Pour tout réel $ x $ : $ \ln(e^{x})=x $.
Remarque
* Ces propriétés se déduisent immédiatement de la définition.
* On dit que les fonctions « logarithme népérien » et « exponentielle » sont réciproques.
* On en déduit immédiatement : $ \ln(1)=0 $ et $ \ln(e)=1 $.
2. Etude de la fonction logarithme népérien
Théorème
La fonction logarithme népérien est dérivable sur $ ]0 ;+\infty[ $ et sa dérivée est définie par :
Propriété
La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur $ ]0;+\infty[ $.
[preuve]
Sa dérivée $ \ln^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x} $ est strictement positive sur $ ]0;+\infty[ $.
[/preuve]
Remarque
Ces résultats permettent de tracer le tableau de variation et la courbe représentative de la fonction logarithme népérien :
Propriété
Soit $ u $ une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $ I $.
Alors la fonction $ f : x\mapsto \ln(u(x)) $ est dérivable sur $ I $ et :
Exemple
Soit $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $ f(x)=\ln(x^{2}+1) $.
$ f $ est dérivable sur $ \mathbb{R} $ et $ f^{\prime}(x)=\dfrac{2x}{x^{2}+1} $.
Théorème
Si $ a $ et $ b $ sont 2 réels strictement positifs :
* $ \ln a=\ln b $ si et seulement si $ a=b $.
* $ \ln a < \ln b $ si et seulement si $ a < b $.
Remarque
* Le théorème précédent résulte de la stricte croissance de la fonction logarithme népérien.
* En particulier, comme $ \ln(1)=0 $ : $ \ln x < 0 \Leftrightarrow x < 1 $. N'oubliez donc pas que $ \ln(x) $ peut être négatif (si $ 0 < x < 1 $) ; c'est une cause d'erreurs fréquente dans les exercices notamment avec des inéquations !
3. Propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien
Théorème
Si $ a $ et $ b $ sont 2 réels strictement positifs et si $ n \in \mathbb{Z} $ :
* $ \ln(ab)=\ln a+\ln b $.
* $ \ln\left(\dfrac{1}{a}\right)= - \ln a $.
* $ \ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln a - \ln b $.
* $ \ln(a^{n})=n \ln a $.
* $ \ln\left(\sqrt{a}\right)=\dfrac{1}{2} \ln a $.
Exemple
* $ \ln(4)=\ln(2^{2})=2\ln(2) $.
* Pour $ x > 1 $ : $ \ln\left(\dfrac{x+1}{x - 1}\right)= \ln(x+1) - \ln(x - 1) $.
Cette égalité peut être intéressante (pour calculer la dérivée par exemple) mais il faut que $ x > 1 $.
Si $ x < - 1 $, l'expression $ \ln\left(\dfrac{x+1}{x - 1}\right) $ est définie mais pas $ \ln(x+1) - \ln(x - 1) $.