I. Fonction convexe – Fonction concave
Définition
Soient $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $\mathscr C_{f}$ sa courbe représentative.
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On dit que $f$ est convexe sur $I$ si la courbe $\mathscr C_{f}$ est au-dessus de toutes ses tangentes sur l’intervalle $I$.
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On dit que $f$ est concave sur $I$ si la courbe $\mathscr C_{f}$ est au-dessous de toutes ses tangentes sur l’intervalle $I$.
Exemples
Fonction convexe (et quelques tangentes…)
Fonction concave (et quelques tangentes…)
Théorème
Si $f$ est dérivable sur $I$ :
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$f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f^{\prime}$ est croissante sur $I$
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$f$ est concave sur $I$ si et seulement si $f^{\prime}$ est décroissante sur $I$
Remarque
L’étude de la convexité se ramène donc à l’étude des variations de $f^{\prime}$. Si $f^{\prime}$ est dérivable, on donc est amené a étudier le signe la dérivée de $f^{\prime}$. Cette dérivée s’appelle la dérivée seconde de $f$ et se note $f^{\prime\prime}$.
Théorème
Si $f$ est dérivable sur $I$ et si $f^{\prime}$ est dérivable sur $I$ (on dit aussi que $f$ est 2 fois dérivable
sur $I$) :
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$f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f^{\prime\prime}$ est positive ou nulle sur $I$
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$f$ est concave sur $I$ si et seulement si $f^{\prime\prime}$ est négative ou nulle sur $I$
Exemples
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La fonction $f : x \mapsto x^{2}$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.
$f^{\prime}\left(x\right)=2x$ et $f^{\prime\prime}\left(x\right)=2$.
Comme $f^{\prime\prime}$ est positive sur $\mathbb{R}$, $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$.
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La fonction $f : x \mapsto x^{3}$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.
$f^{\prime}\left(x\right)=3x^{2}$ et $f^{\prime\prime}\left(x\right)=6x$.
$f^{\prime\prime}\geqslant 0$ sur $\left[0; +\infty \right[$, donc $f$ est convexe sur $\left[0; +\infty \right[$.
$f^{\prime\prime}\leqslant 0$ sur $\left] – \infty ; 0\right]$, donc $f$ est concave sur $\left] – \infty ; 0\right]$.
II. Point d’inflexion
Définition
Soient $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$, $\mathscr C_{f}$ sa courbe représentative et $A\left(a;f\left(a\right)\right)$ un point de la courbe $\mathscr C_{f}$ .
On dit que $A$ est un point d’inflexion de la courbe $\mathscr C_{f}$, si et seulement si la courbe $\mathscr C_{f}$ traverse sa tangente en $A$.
Exemple
Point d’inflexion en A
Propriété
Si $A$ est un point d’inflexion d’abscisse $a$, $ f $ passe de concave à convexe ou de convexe à concave en $a$.
Théorème
Soit $ f $ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$ de courbe représentative $\mathscr C_{f}$. Le point $A$ d’abscisse $a$ est un point d’inflexion de $\mathscr C_{f} $ si et seulement si $f^{\prime\prime}$ s’annule et change de signe en $a$.
Exemple
Le graphique de l’exemple précédent correspond à la fonction définie par :
$f\left(x\right)=\dfrac{1}{3}x^{3} – x^{2}+1$
On a $f^{\prime}\left(x\right)=x^{2} – 2x$ et $f^{\prime\prime}\left(x\right)=2x – 2$.
On vérifie bien que $f^{\prime\prime}$ change de signe en $1$. Donc le point $A$ d’abscisse $1$ et d’ordonnée $f\left(1\right)=\dfrac{1}{3}$ est bien un point d’inflexion.