1 – Caractéristiques d’une suite géométrique
Définition
On dit qu’une suite $\left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique s’il existe un nombre réel $q$ tel que :
pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=q \times u_{n}$
Le réel $q$ s’appelle la raison de la suite géométrique $\left(u_{n}\right)$.
Remarque
Pour démontrer qu’une suite $\left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}}$ dont les termes sont non nuls est une suite géométrique, on pourra calculer le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}$.
Si ce rapport est une constante $q$, on pourra affirmer que la suite est une suite géométrique de raison $q$.
Exemple
Soit la suite $\left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $u_{n}=\dfrac{3}{2^{n}}$.
Les termes de la suite sont tous strictement positifs et
$\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=$$\dfrac{3}{2^{n+1}}\times \dfrac{2^{n}}{3}=\dfrac{2^{n}}{2^{n+1}}=$$\dfrac{2^{n}}{2\times 2^{n}}=\dfrac{1}{2}$
La suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$
Propriété
Pour $n$ et $k$ quelconques entiers naturels, si la suite $\left(u_{n}\right)$ est géométrique de raison $q$ :$u_{n}=u_{k}\times q^{n – k}$.
En particulier $u_{n}=u_{0}\times q^{n}$.
Propriété
Réciproquement, soient $a$ et $b$ deux nombres réels. La suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{n}=a\times b^{n}$ suite est une suite géométrique de raison $q=b$ et de premier terme $u_{0}=a$.
Démonstration
$u_{n+1}=a\times b^{n+1}=a\times b^{n}\times b=u_{n}\times b$
et
$u_{0}=a\times b^{0}=a\times 1=a$
Théorème
Soit $\left(u_{n}\right) $une suite géométrique de raison $q > 0$ et de premier terme strictement positif :
-
Si q >1, la suite $\left(u_{n}\right) $est strictement croissante
-
Si 0 < q <1, la suite $\left(u_{n}\right) $est strictement décroissante
-
Si q=1, la suite $\left(u_{n}\right) $est constante
Théorème
Si $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont deux suites géométriques de raison respectives $q$ et $q^{\prime}$ alors le produit $\left(w_{n}\right)$ de ces deux suites défini par :
$w_{n}=u_{n}\times v_{n}$
est une suite géométrique de raison $q^{\prime\prime}=q\times q^{\prime}$
2 – Somme des puissances successives d’un nombre
Théorème
Soit $q$ un nombre réel différent de 1:
$1+q+q^{2}+ . . . +q^{n} = \dfrac{1 – q^{n+1}}{1 – q}$
Remarque
Cette formule n’est pas valable pour $q=1$. Mais dans ce cas le calcul est immédiat car tous les termes sont égaux à 1.
Exemple
Soit à calculer la somme $S=1+2+4+8+16 + . . .+2^{n}$
Donc:
$S=\dfrac{1 – 2^{n+1}}{1 – 2}=\dfrac{1 – 2^{n+1}}{ – 1}=2^{n+1} – 1$
3 – Limite de la suite $\left(q^{n}\right)$ où $q\geqslant 0$
Théorème
Soit $q$ un nombre réel positif.
-
Si $q > 1$ : alors $q^{n}$ est aussi grand que l’on veut dès que $n$ est suffisamment grand. On dit que la suite $\left(q^{n}\right)$ tend vers $+\infty $ et on écrit :
$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty } q^{n} = +\infty $ ( ou $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\left(q^{n}\right) = +\infty $)
-
Si $ 0 \leqslant q < 1$ : alors $q^{n}$ est aussi proche de zéro que l’on veut dès que $n$ est suffisamment grand. On dit que la suite $\left(q^{n}\right)$ tend vers $0$ et on écrit :
$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty } q^{n} = 0 $ ( ou $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\left(q^{n}\right) = 0$)
Remarque
Pour $q=1$ $q^{n}=1^{n}=1$; la suite est constante, égale à $1$, et tend donc vers $1$;
4 – Suites arithmético-géométriques
Définition
Une suite arithmético-géométrique $u_{n}$ est définie par son premier terme $u_{0}$ et une relation de récurrence du type :
$u_{n+1} = a\times u_{n}+b$ pour tout entier $n$
où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
Remarque
Attention : Ces suites ne sont ni arithmétiques (sauf si $a=1$) ni géométriques (sauf si $b=0$).
Propriété
Il existe un nombre réel $k$ tel que la suite $v_{n}$ définie, pour tout entier $n$, par $v_{n}=u_{n}+k$ soit une suite géométrique de raison $a$.
Remarques
-
En général, dans les exercices, le nombre $k$ vous sera donné (et si ce n’est pas le cas on vous indiquera une démarche pour le trouver). On vous demandera de prouver que $v_{n}$ est une suite géométrique de raison $a$.
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Puisque $v_{n}=u_{n}+k$, pour tout entier $n$, on a en particulier $v_{0}=u_{0}+k$ ce qui permet de connaître le premier terme de la suite $v_{n}$.
-
$v_{n}=u_{n}+k$ signifie aussi que $u_{n}=v_{n} – k$.
Donc une fois que l’on connaît $v_{n}$ on peut trouver $u_{n}$ (voir exemple ci-dessous)
Exemple détaillé
Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0}=5$ et $u_{n+1}=0,6u_{n}+4$.
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Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ définie par $v_{n}=u_{n} – 10$ est une suite géométrique.
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En déduire l’expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
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Montrons que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique
Pour montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique on va calculer $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$.$v_{n}=u_{n} – 10$ pour tout entier $n$ donc :
$v_{n+1}=u_{n+1} – 10$
or on sait que
$u_{n+1}=0,6u_{n}+4$
donc
$v_{n+1}=0,6u_{n}+4 – 10 = 0,6u_{n} – 6$
Ici, une petite astuce consiste à mettre $0,6$ en facteur (on peut également dire que $u_{n}=v_{n}+10$ et remplacer $u_{n}$ par $v_{n}+10$)
$v_{n+1}=0,6u_{n} – 0,6\times 10=0,6\left(u_{n} – 10\right)=0,6v_{n}$
On a bien une relation du type $v_{n+1}=q\times v_{n}$ avec $q=0,6$ ce qui montre que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,6$.
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Expression de $u_{n}$ en fonction de $n$
Par ailleurs, $v_{0}=u_{0} – 10=5 – 10= – 5$$\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de premier terme $v_{0}=5$ et de raison $q=0,6$ donc pour tout entier $n$:
$v_{n}=v_{0}\times q^{n}= – 5\times 0,6^{n}$
Comme $u_{n}=v_{n}+10$, on obtient finalement :
$u_{n}= – 5\times 0,6^{n}+10$