Les suites géométriques
1 - Caractéristiques d'une suite géométrique
Définition
On dit qu'une suite $ (u_{n})_{n\in \mathbb{N}} $ est une suite géométrique s'il existe un nombre réel $ q $ tel que :
pour tout $ n\in \mathbb{N} $, $ u_{n+1}=q \times u_{n} $
Le réel $ q $ s'appelle la raison de la suite géométrique $ (u_{n}) $.
Remarque
Pour démontrer qu'une suite $ (u_{n})_{n\in \mathbb{N}} $ dont les termes sont non nuls est une suite géométrique, on pourra calculer le rapport $ \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} $.
Si ce rapport est une constante $ q $, on pourra affirmer que la suite est une suite géométrique de raison $ q $.
Exemple
Soit la suite $ (u_{n})_{n\in \mathbb{N}} $ définie par $ u_{n}=\dfrac{3}{2^{n}} $.
Les termes de la suite sont tous strictement positifs et
La suite $ (u_{n}) $ est une suite géométrique de raison $ \dfrac{1}{2} $.
Propriété
Pour $ n $ et $ k $ quelconques entiers naturels, si la suite $ (u_{n}) $ est géométrique de raison $ q $ :
En particulier $ u_{n}=u_{0}\times q^{n} $.
Propriété
Réciproquement, soient $ a $ et $ b $ deux nombres réels. La suite $ (u_{n}) $ définie par $ u_{n}=a\times b^{n} $ est une suite géométrique de raison $ q=b $ et de premier terme $ u_{0}=a $.
[preuve]
et
[/preuve]
Théorème
Soit $ (u_{n}) $ une suite géométrique de raison $ q > 0 $ et de premier terme strictement positif :
* Si $ q >1 $, la suite $ (u_{n}) $ est strictement croissante
* Si $ 0 < q <1 $, la suite $ (u_{n}) $ est strictement décroissante
* Si $ q=1 $, la suite $ (u_{n}) $ est constante
Théorème
Si $ (u_{n}) $ et $ (v_{n}) $ sont deux suites géométriques de raison respectives $ q $ et $ q^{\prime} $ alors le produit $ (w_{n}) $ de ces deux suites défini par :
est une suite géométrique de raison $ q^{\prime\prime}=q\times q^{\prime} $.
2 - Somme des puissances successives d'un nombre
Théorème
Soit $ q $ un nombre réel différent de 1 :
Remarque
Cette formule n'est pas valable pour $ q=1 $. Mais dans ce cas le calcul est immédiat car tous les termes sont égaux à 1.
Exemple
Soit à calculer la somme $ S=1+2+4+8+16 + . . .+2^{n} $.
Donc :
3 - Limite de la suite $ (q^{n}) $ où $ q\geqslant 0 $
Théorème
Soit $ q $ un nombre réel positif.
* Si $ q > 1 $ : alors $ q^{n} $ est aussi grand que l'on veut dès que $ n $ est suffisamment grand. On dit que la suite $ (q^{n}) $ tend vers $ +\infty $ et on écrit :
(ou $ \lim_{n\rightarrow +\infty }\left(q^{n}\right) = +\infty $)
* Si $ 0 \leqslant q < 1 $ : alors $ q^{n} $ est aussi proche de zéro que l'on veut dès que $ n $ est suffisamment grand. On dit que la suite $ (q^{n}) $ tend vers $ 0 $ et on écrit :
(ou $ \lim_{n\rightarrow +\infty }\left(q^{n}\right) = 0 $)
Remarque
Pour $ q=1 $, $ q^{n}=1^{n}=1 $ ; la suite est constante, égale à $ 1 $, et tend donc vers $ 1 $.
4 - Suites arithmético-géométriques
Définition
Une suite arithmético-géométrique $ u_{n} $ est définie par son premier terme $ u_{0} $ et une relation de récurrence du type :
pour tout entier $ n $, où $ a $ et $ b $ sont deux nombres réels.
Remarque
Attention : Ces suites ne sont ni arithmétiques (sauf si $ a=1 $) ni géométriques (sauf si $ b=0 $).
Propriété
Il existe un nombre réel $ k $ tel que la suite $ v_{n} $ définie, pour tout entier $ n $, par $ v_{n}=u_{n}+k $ soit une suite géométrique de raison $ a $.
Remarque
* En général, dans les exercices, le nombre $ k $ vous sera donné (et si ce n'est pas le cas on vous indiquera une démarche pour le trouver). On vous demandera de prouver que $ v_{n} $ est une suite géométrique de raison $ a $.
* Puisque $ v_{n}=u_{n}+k $, pour tout entier $ n $, on a en particulier $ v_{0}=u_{0}+k $ ce qui permet de connaître le premier terme de la suite $ v_{n} $.
* $ v_{n}=u_{n}+k $ signifie aussi que $ u_{n}=v_{n} - k $.
Donc une fois que l'on connaît $ v_{n} $ on peut trouver $ u_{n} $ (voir exemple ci-dessous)
Exemple
Soit la suite $ (u_{n}) $ définie par $ u_{0}=5 $ et $ u_{n+1}=0,6u_{n}+4 $.
1. Montrer que la suite $ (v_{n}) $ définie par $ v_{n}=u_{n} - 10 $ est une suite géométrique.
2. En déduire l'expression de $ u_{n} $ en fonction de $ n $.
1. Montrons que la suite $ (v_{n}) $ est une suite géométrique
Pour montrer que la suite $ (v_{n}) $ est géométrique on va calculer $ v_{n+1} $ en fonction de $ v_{n} $.
$ v_{n}=u_{n} - 10 $ pour tout entier $ n $ donc :
$ v_{n+1}=u_{n+1} - 10 $
Or on sait que $ u_{n+1}=0,6u_{n}+4 $ donc :
Ici, une petite astuce consiste à mettre $ 0,6 $ en facteur (on peut également dire que $ u_{n}=v_{n}+10 $ et remplacer $ u_{n} $ par $ v_{n}+10 $)
On a bien une relation du type $ v_{n+1}=q\times v_{n} $ avec $ q=0,6 $ ce qui montre que la suite $ (v_{n}) $ est une suite géométrique de raison $ 0,6 $.
2. Expression de $ u_{n} $ en fonction de $ n $
Par ailleurs, $ v_{0}=u_{0} - 10=5 - 10= - 5 $.
$ (v_{n}) $ est une suite géométrique de premier terme $ v_{0}=-5 $ et de raison $ q=0,6 $ donc pour tout entier $ n $ :
Comme $ u_{n}=v_{n}+10 $, on obtient finalement :