1. Primitives d’une fonction
Définition
Soit $f$ une fonction définie sur $I$.
On dit que $F$ est une primitive de $f$ sur l’intervalle $I$, si et seulement si $F$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x$ de $I$, $F^{\prime}\left(x\right)=f\left(x\right)$.
Exemple
La fonction $F: ~x\mapsto x^{2}$ est une primitive de la fonction $f:~x\mapsto 2x$ sur $\mathbb{R}$.
La fonction $G: ~x\mapsto x^{2}+1$ est aussi une primitive de cette même fonction $f$.
Propriété
Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors les autres primitives de $f$ sur $I$ sont les fonctions de la forme $F+k$ où $k\in \mathbb{R}.$
Remarque
Une fonction continue ayant une infinité de primitives, il ne faut pas dire la primitive de $f$ mais une primitive de $f$.
Exemple
Les primitives de la fonction $f:~x\mapsto 2x$ sont les fonctions $F:~ x\mapsto x^{2}+k$ où $k\in \mathbb{R}.$
Propriété
Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$.
Propriétés
Primitives des fonctions usuelles :
| Fonction $f$ | Primitives $F$ | Ensemble de validité |
| $0$ | $k$ | $\mathbb{R}$ |
| $a$ | $ax+k$ | $\mathbb{R}$ |
| $x^{n} ~ \left(n\in \mathbb{N}\right)$ | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+k$ | $\mathbb{R}$ |
| $\dfrac{1}{x^{n}} ~ \left(n\in \mathbb{N};~n>1\right)$ | $ – \dfrac{1}{\left(n – 1\right)x^{n – 1}}+k$ | $\mathbb{R} – \left\{0\right\}$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\ln x+k$ | $\left]0;+\infty \right[$ |
| $e^{x}$ | $e^{x}+k$ | $\mathbb{R}$ |
Propriétés
Si $f$ et $g$ sont deux fonctions définies sur $I$ et admettant respectivement $F$ et $G$ comme primitives sur $I$ et $k$ un réel quelconque.
-
$F+G$ est une primitive de la fonction $f+g$ sur $I$.
-
$kF$ est une primitive de la fonction $kf$ sur $I$.
Propriétés
Primitives et fonctions composées
Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$.
| Fonction $f$ | Primitives $F$ | Condition |
| $u^{\prime}u^{n} ~ \left(n\in \mathbb{N}\right)$ | $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}+k$ | |
| $\dfrac{u^{\prime}}{u}$ | $\ln u+k$ | si $u\left(x\right)>0$ |
| $\dfrac{u^{\prime}}{u^{n}} ~ \left(n\in \mathbb{N};~n>1\right)$ | $ – \dfrac{1}{\left(n – 1\right)u^{n – 1}}+k$ | si $u\left(x\right)\neq 0$ |
| $\dfrac{u^{\prime}}{\sqrt{u}}$ | $2\sqrt{u}+k$ | si $u\left(x\right)>0$ |
| $u^{\prime}e^{u}$ | $e^{u}+k$ |
Exemple
La fonction $x\mapsto \dfrac{2x}{x^{2}+1}$ admet comme primitives les fonctions de la forme $x\mapsto \ln\left(x^{2}+1\right)+k$ sur tout intervalle de $\mathbb{R}$ (forme $\dfrac{u^{\prime}}{u}$).
2. Intégrales
Définition
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $\left[a;b\right]$ et $F$ une primitive de $f$ sur $\left[a;b\right]$.
L’intégrale de $a$ à $b$ de $f$ est le nombre réel noté $\int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x$ défini par:
$\int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x=F\left(b\right) – F\left(a\right)$.
Remarques
-
L’intégrale ne dépend pas de la primitive de $f$ choisie.
En effet si $G$ est une autre primitive de $f$, on a $G=F+k$ donc :
$G\left(b\right) – G\left(a\right)=F\left(b\right)+k – \left(F\left(a\right)+k\right)=F\left(b\right) – F\left(a\right)$
-
Dans l’expression $\int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x$, $x$ est une variable « muette ». C’est à dire que l’on ne change pas l’expression si on remplace $x$ par une autre lettre. En pratique, on emploie souvent la lettre $t$ notamment lorsque la lettre $x$ est employée par ailleurs.
Notations
On note souvent : $F\left(b\right) – F\left(a\right)=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}$.
On a avec cette notation :
$\int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}$.
Exemple
La fonction $F$ définie par $F\left(x\right)=\dfrac{x^{3}}{3}$ est une primitive de la fonction carré.
On a donc :
$\int_{0}^{1}x^{2}\text{d}x=\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{3} – \dfrac{0}{3}=\dfrac{1}{3}$.
Théorème (intégrale fonction de sa borne supérieure)
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a \in I$; la fonction définie sur $I$ par :
$x\mapsto \int_{a}^{ x}f\left(t\right)\text{d}t$
est la primitive de $f$ qui s’annule pour $x=a$.
Démonstration
Soit $F$ une primitive (quelconque) de $f$. Posons $\Phi \left(x\right)=\int_{a}^{ x}f\left(t\right)\text{d}t$
$\Phi \left(x\right)=\int_{a}^{ x}f\left(t\right)\text{d}t=F\left(x\right) – F\left(a\right)$
donc:
$\Phi ^{\prime}\left(x\right)=F^{\prime}\left(x\right)=f\left(x\right)$.
Ce qui prouve que $\Phi $ est aussi une primitive de $f$.
De plus $\Phi \left(a\right)=F\left(a\right) – F\left(a\right)=0$.
Remarque
Notez bien la position du $x$ en borne supérieure de l’intégrale.
Exemple
La fonction définie sur $\left[0 ; +\infty \right[$ $x\mapsto \int_{1}^{ x}\dfrac{1}{t}\text{d}t$ (on peut aussi écrire $\int_{1}^{ x}\dfrac{\text{d}t}{t}$) est la primitive de la fonction inverse qui s’annule pour $x=1$. C’est donc la fonction logarithme népérien:
$\ln\left(x\right)= \int_{1}^{ x}\dfrac{\text{d}t}{t}.$
Propriété
Relation de Chasles
Soit $f$ une fonction continue sur $\left[a;b\right]$ et $c\in \left[a;b\right]$.
$\int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x=\int_{a}^{c}f\left(x\right)\text{d}x+\int_{c}^{b}f\left(x\right)\text{d}x$.
Propriété
Linéarité de l’intégrale
Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $\left[a;b\right]$ et $\lambda \in \mathbb{R}$.
-
$\int_{a}^{b}f\left(x\right)+g\left(x\right)\text{d}x=\int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x+\int_{a}^{b}g\left(x\right)\text{d}x$
-
$\int_{a}^{b} \lambda f\left(x\right)\text{d}x=\lambda \int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x$.
Propriété
Comparaison d’intégrales
Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $\left[a;b\right]$ telles que $f\geqslant g$ sur $\left[a;b\right]$.
$\int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x\geqslant \int_{a}^{b}g\left(x\right)\text{d}x$.
Remarque
En particulier, en prenant pour $g$ la fonction nulle on obtient si $f\left(x\right)\geqslant 0$ sur $\left[a;b\right]$:
$\int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x\geqslant 0$.
3. Interprétation graphique
Définition
Le plan $P$ est rapporté à un repère orthogonal $\left(O,\vec{i},\vec{j}\right)$.
On appelle unité d’aire (u.a.) l’aire d’un rectangle (qui est un carré si le repère est orthonormé) dont les côtés mesurent $||\vec{i}||$ et $||\vec{j}||$.
Unité d’aire dans le cas d’un repère orthonormé
Propriété
Si $f$ est une fonction continue et positive sur $\left[a;b\right]$, alors l’intégrale $\int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x$ est l’aire, en unités d’aire, de la surface délimitée par :
-
la courbe $C_{f}$,
-
l’axe des abscisses,
-
les droites (verticales) d’équations $x=a$ et $x=b$.
Exemple
L’aire colorée ci-dessus est égale (en unités d’aire) à $\int_{1}^{3}f\left(x\right)\text{d}x$.
Remarques
-
Si $f$ est négative sur $\left[a;b\right]$, la propriété précédente appliquée à la fonction $ – f$ montre que $\int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x$ est égale à l’opposé de l’aire délimitée par la courbe $C_{f}$, l’axe des abscisses, les droites d’équations $x=a$ et $x=b$.
-
Si le signe de $f$ varie sur $\left[a;b\right]$, on découpe $\left[a;b\right]$ en sous-intervalles sur lesquels $f$ garde un signe constant.
Propriété
Si $f$ et $g$ sont des fonctions continues et telles que $f\leqslant g$ sur $\left[a;b\right]$, alors l’aire de la surface délimitée par :
-
la courbe $C_{f}$,
-
la courbe $C_{g}$,
-
les droites (verticales) d’équations $x=a$ et $x=b$.
est égale (en unités d’aire) à :
$A=\int_{a}^{b}\left(g\left(x\right) – f\left(x\right)\right)\text{d}x$.
Exemple
$f$ et $g$ définies par $f\left(x\right)=x^{2} – x$ et $g\left(x\right)=3x – x^{2}$ sont représentées par les paraboles ci-dessous :
L’aire colorée est égale (en unités d’aire) à :
$A=\int_{0}^{2}\left(g\left(x\right) – f\left(x\right)\right)\text{d}x=\int_{0}^{2} \left(4x – 2x^{2}\right)\text{d}x=\left[2x^{2} – \dfrac{2}{3}x^{3}\right]_{0}^{2}=\dfrac{8}{3} \text{u.a.}$
4. Equation différentielle
Définition
Une équation différentielle est une égalité mettant en relation une fonction et sa dérivée (ou ses dérivées successives).
Résoudre une équation différentielle sur un intervalle I, consiste à trouver l’ensemble des fonctions dérivables sur I qui vérifie l’égalité pour tout $x\in I$
Démonstration
Attention aux notations :
Dans une équation différentielle, l’usage est de noter $y$ pour $f\left(x\right)$, $y^{\prime}$ pour $f^{\prime}\left(x\right)$ etc.
L’équation différentielle $f^{\prime}\left(x\right)=f\left(x\right)+x$ s’écrira par exemple $y^{\prime}=y+x$.
Cette notation ne doit pas faire oublier que les solutions recherchées sont des fonctions!
Exemple
La fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$ est une solution, sur $ \mathbb{R} $, de l’équation différentielle: $2y=xy^{\prime}$.
En effet : $f\left(x\right)=x^{2}$ et $f^{\prime}\left(x\right)=2x$ donc $2f\left(x\right)=x\times f^{\prime}\left(x\right)$
Théorème
Les solutions, sur $\mathbb{R}$, de l’équation différentielle $y^{\prime}=ay$ (où $a\in \mathbb{R}$) sont les fonctions définies par $f\left(x\right)=Ke^{ax}$ où $K$ est un réel quelconque.
Démonstration
Soit une fonction f définie par $f\left(x\right)=Ke^{ax}$ où $K$ est un réel quelconque.
$f^{\prime}\left(x\right)=aKe^{ax}$ donc $f^{\prime}\left(x\right)=af\left(x\right)$ et f est bien solution de l’équation différentielle $y^{\prime}=ay$
Réciproquement, soit $f$ une solution de l’équation différentielle $y^{\prime}=ay$.
On a $f^{\prime}\left(x\right)=af\left(x\right)$ pour tout $x\in \mathbb{R}$.
Posons $g\left(x\right)=f\left(x\right)e^{ – ax}$. $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$g^{\prime}\left(x\right)=f^{\prime}\left(x\right)e^{ – ax} – af\left(x\right)e^{ – ax} $$ =\left(f^{\prime}\left(x\right) – af\left(x\right)\right)e^{ – ax}=0$.
$g$ est donc une fonction constante : $g\left(x\right)=K$.
Donc $f\left(x\right)e^{ – ax}=K$, c’est à dire en multipliant chaque membre par $e^{ax}$: $f\left(x\right)=Ke^{ax}$
Théorème
Les solutions, sur $\mathbb{R}$, de l’équation différentielle $y^{\prime}=ay+b$ ( où $a\in \mathbb{R}\backslash\left\{0\right\}$ et $b\in \mathbb{R}$) sont les fonctions définies par $f\left(x\right)=Ke^{ax} – \dfrac{b}{a}$ où $K$ est un réel quelconque.
Théorème
Soit $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ un couple de réels.
Il existe une unique fonction $f$ solution sur $\mathbb{R}$ de l’équation différentielle $y^{\prime}=ay+b$ ( où $a\in \mathbb{R}$ et $b\in \mathbb{R} $) vérifiant la condtion $f\left(x_{0}\right)=y_{0}$
Remarques
La condition $f\left(x_{0}\right)=y_{0}$ est souvent appelée condition initiale.