Exercice 4 (6 points)
Un fournisseur d’accès internet propose deux formules, nommées « Start » et « Plus », à ses abonnés.
On suppose que le nombre global d’abonnés à ce fournisseur d’accès est stable d’une année sur l’autre et égal à 2 millions.
En 2010, 1,5 million de personnes étaient abonnés à la formule « Start » et 500 000 personnes étaient abonnés à la formule « Plus ».
Chaque année :
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30% des abonnés à la formule « Start » choisissent de passer à la formule « Plus » l’année suivante (les 70% restant conservant la formule « Start ») ;
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10% des abonnés à la formule « Plus » décident de migrer vers la formule « Start » l’année suivante (les 90% restant conservant la formule « Plus »).
Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ (respectivement $b_n$) le nombre d’abonnés, en milliers, à la formule « Start » (respectivement à la formule « Plus » ) l’année $2010+n$.
On a donc ${a_0=1~500}$ et ${b_0=500}$.
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Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel $n$, ${a_n+b_n=2~000}$.
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Montrer que, pour tout entier naturel $n$ :
$a_{n+1} =0,7a_n+0,1b_n.$
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En déduire que, pour tout entier naturel $n$ :
$a_{n+1} =0,6a_n+200.$
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Soit la suite $(u_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par :
$u_n=a_n – 500.$
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Montrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
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Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
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En déduire que, pour tout entier naturel $n$ :
$a_n=500+1000 \times 0,6^n.$
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Montrer que la suite $(a_n)$ est décroissante et converge vers une limite que l’on déterminera.
Que peut-on en déduire concernant le nombre d’abonnés à la formule « Start » ? -
On souhaite utiliser un tableur pour calculer les termes $a_n$ et $b_n$.
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Proposer une formule à saisir dans la cellule C2 pour calculer $a_1$.
Cette formule devra permettre de calculer les valeurs successives de la suite $(a_n)$ en la « tirant vers la droite ».
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Proposer une formule à saisir dans la cellule B3 pour calculer $b_0$.
Cette formule devra permettre de calculer les valeurs successives de la suite $(b_n)$ en la « tirant vers la droite ».
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Corrigé
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Pour tout entier naturel $n$, la somme ${a_n+b_n}$ représente le nombre total d’abonnés (en milliers) chez ce fournisseur d’accès internet.
D’après l’énoncé ce nombre est stable et correspond à 2 millions, soit 2 000 milliers d’abonnés.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ :
$a_n+b_n = 2~000.$
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$a_{n+1}$ représente le nombre d’abonnés, en milliers, à la formule « Start » l’année $2010+n+1$.
Ce nombre comporte :
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les abonnés à la formule « Start » de l’année précédente qui se réinscrivent à cette même formule, c’est à dire 70% de $a_n$ soit $0,7a_n$ ;
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les abonnés à la formule « Plus » de l’année précédente qui décident de migrer vers la formule « Start », c’est à dire 10% de $b_n$ soit $0,1b_n$ ;
Au total, on obtient :
$a_{n+1} =0,7a_n+0,1b_n.$
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D’après la question 1., $a_n+b_n = 2~000$ donc $b_n = 2~000 – a_n$.
Comme $a_{n+1} =0,7a_n+0,1b_n$, alors :
$a_{n+1} =0,7a_n+0,1(2~000 – a_n)$
$\phantom{a_{n+1}} =0,7a_n+200 – 0,1a_n$
$\phantom{a_{n+1}} =0,6a_n+200.$ -
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Pour tout entier naturel $n$ :
$u_{n+1}=a_{n+1} – 500$
$\phantom{u_{n+1}}=0,6a_n+200 – 500$
$\phantom{u_{n+1}}=0,6a_n – 300$.
Or $u_n=a_n – 500$ donc $a_n=u_n+500$ ; alors :
$u_{n+1}=0,6(u_n+500) – 300$
$\phantom{u_{n+1}}=0,6u_n+500 – 500$
$\phantom{u_{n+1}}=0,6u_n$.
De plus, comme ${u_0=a_0 – 500=1~500 – 500=1~000}$, la suite $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme ${u_0=1~000}$ et de raison ${q=0,6}$.
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Par conséquent :
$u_n=u_0q^n=1~000 \times 0,6^n$.
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En utilisant la question précédente et la relation ${a_n=u_n+500}$, on en déduit que pour tout entier naturel $n$ :
$a_n=u_n+500=500+1~000 \times 0,6^n$.
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D’après la question précédente, pour tout entier naturel $n$ :
$a_{n+1} – a_n=500+1000 \times 0,6^{n+1} – \left[500+1000 \times 0,6^n\right]$
$\phantom{a_{n+1} – a_n}=500+1000 \times 0,6^{n+1} – 500 – 1000 \times 0,6^n$
$\phantom{a_{n+1} – a_n}=1000 \times 0,6^{n+1} – 1000 \times 0,6^n$.
Or $0,6^{n+1}=0,6^n \times 0,6$, donc :
$a_{n+1} – a_n=1000 \times 0,6^n \times 0,6 – 1000 \times 0,6^n$
$\phantom{a_{n+1} – a_n}=1000 \times 0,6^{n}[0,6 – 1)$
$\phantom{a_{n+1} – a_n}= – 0,4 \times 1000 \times 0,6^{n}$.
$a_{n+1} – a_n$ est strictement négatif pour tout entier naturel $n$, donc la suite $(a_n)$ est strictement décroissante.
À retenir
Pour démontrer qu’une suite $(u_n)$ est croissante, on montre que pour tout entier naturel $n$ :
$u_{n+1} – u_n \geqslant 0.$
Pour démontrer qu’une suite $(u_n)$ est décroissante, on montre que pour tout entier naturel $n$ :
$u_{n+1} – u_n \leqslant 0.$
En pratique
La formule :
$a^{n+1} = a^n \times a.$
qui est un cas particulier de la formule ${a^{n+m} = a^n \times a^m}$ est très souvent utilisée dans les calculs concernant les suites géométriques.
Comme $0 < 0,6 < 1$, ${\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}0,6^n=0}$ et ${\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}1000 \times 0,6^n=0}$. Par conséquent :
$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}a_n = \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}500+1000 \times 0,6^n =500.$
On en déduit que le nombre d’abonnés à la formule « Start » va décroître et se rapprocher de \bm{500~000}.
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Solution n°1
On sait que pour tout entier naturel $n$ : $a_{n+1}=0,6a_n+200$.
En particulier $a_1=0,6a_0+200$.
$a_0$ est situé dans la cellule B2. On peut donc saisir dans la cellule C2 :
=0,6*B2+200
Solution n°2
On sait que pour tout entier naturel $n$ : $a_{n}=500+1000 \times 0,6^n$.
En particulier $a_1=500+1000 \times 0,6^1$.
Les indices sont situés sur la ligne n°1 ; l’indice 1 est situé dans la cellule C1. On peut donc saisir dans la cellule C2 :
=500+1000*PUISSANCE(0,6 ; C1)
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Pour tout entier naturel $n$, $b_n=2~000 – a_n$.
En particulier : ${b_0=2~000 – a_0}$.$a_0$ est situé dans la cellule B2. On peut donc saisir dans la cellule B3 :
=2000-B2
Remarque : D’autres solutions sont également possibles.
À retenir
Dans un tableur, une formule mathématique doit débuter par le signe = pour être exécutée.
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