Exercice 4 (5 points)
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=250$ et, pour tout entier naturel $n$ :
$u_{n+1}=0,8u_n+60.$
-
Calculer $u_1$ et $u_2$.
-
Compléter l’algorithme ci-après afin qu’il affiche le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n \geqslant 290$.
-
Soit la suite $(v_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par :
$v_n=u_n – 300.$
-
Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
-
Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
-
En déduire que pour tout entier naturel $n$ :
$u_n=300 – 50 \times 0,8^n.$
-
-
À l’aide de la calculatrice, déterminer la valeur affichée par l’algorithme de la question 2.
-
Une ville organise chaque année un tournoi d’Échecs.
En 2016, $200$ joueurs ont participé à ce tournoi.
Les organisateurs font l’hypothèse que, d’une année sur l’autre :-
20% des joueurs ne reviennent pas l’année suivante,
-
60 nouveaux joueurs s’inscrivent au tournoi.
La taille de la salle dans laquelle se déroule le tournoi limite le nombre de joueurs à 320.
Les organisateurs vont-ils devoir refuser des inscriptions par manque de places dans les années à venir ?
Justifier la réponse. -
Corrigé
-
Pour tout entier naturel $n$, ${u_{n+1}=0,8u_n+60}$ ; par conséquent :
$u_{1}=0,8u_0+60=0,8 \times 250+60=260$.
$u_{2}=0,8u_1+60=0,8 \times 260+60=268$.
-
L’algorithme peut être complété de la façon suivante :
(Attention au sens de la condition « Tant que ${U<290}$ ». On veut que la boucle « Tant que » se termine lorsque \bm{U \geqslant 290} ; on souhaite donc qu’elle continue à s’effectuer dans le cas contraire, c’est à dire tant que \bm{U<290}.)
-
-
Pour tout entier naturel $n$, $v_{n}= u_{n} – 300$ ; par conséquent :
$v_{n+1}= u_{n+1} – 300$.
Comme $u_{n+1}=0,8u_n + 60$ :
$v_{n+1} = 0,8u_n+60 – 300$
$\phantom{v_{n+1}} = 0,8u_n – 240.$Puisque $v_{n}= u_{n} – 300$, alors $u_{n}= v_{n}+300$. On en déduit :
$v_{n+1} = 0,8(v_n+300) – 240$
$\phantom{v_{n+1}} = 0,8v_n+240 – 240$
$\phantom{v_{n+1}} = 0,8v_n.$Par ailleurs :
$v_{0}= u_{0} – 300=250 – 300= – 50$.
La suite $(v_n)$ est une suite géométrique de premier terme ${v_0= – 50}$ et de raison $0,8$.
-
La suite $(v_n)$ étant une suite géométrique :
$v_n=v_0q^n= – 50 \times 0,8^n$.
-
D’après les questions précédentes :
$u_{n}= v_{n}+300 = 300 – 50 \times 0,8^n$.
-
-
À la calculatrice, on affiche un tableau de valeurs de la fonction $x \longmapsto 300 – 50 \times 0,8^x$.
On trouve alors :
$u_7 \approx 289,51 \quad$ et $\quad u_8 \approx 291,61$
L’algorithme affiche le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n \geqslant 290$. L’algorithme affichera donc la valeur 8.
-
Notons $a_n$ le nombre de joueurs inscrits au tournoi l’année $2016+n$.
En 2016, 250 joueurs ont participé au tournoi donc $a_0=250$.
Une diminution de 20% correspond à un coefficient multiplicateur de ${1 – \dfrac{20}{100}=0,8}$ ; on ajoute ensuite les 60 nouveaux inscrits.
On a donc :
$a_{n+1}=0,8a_n+60.$
Les suites $(u_n)$ et $(a_n)$ sont définies par la même relation de récurrence et le même premier terme ; elles sont donc identiques.
Par conséquent, d’après la question 3.c. :
$a_{n}= 300 – 50 \times 0,8^n$.
Comme $50 \times 0,8^n$ est strictement positif pour tout entier $n$, le nombre $300 – 50 \times 0,8^n$ est strictement inférieur à 300.
Quelle que soit l’année, le nombre d’inscrits sera inférieur à 300. Les organisateurs n’auront donc pas à refuser des inscriptions par manque de places dans les années à venir.