Suites – Bac blanc ES/L Sujet 2 – Maths-cours 2018
Exercice 4 (5 points)
On considère la suite $ (u_n) $ définie par $ u_0=250 $ et, pour tout entier naturel $ n $ :
- Calculer $ u_1 $ et $ u_2 $.
Compléter l'algorithme ci-après afin qu'il affiche le plus petit entier naturel $ n $ tel que $ u_n \geqslant 290 $.
Soit la suite $ (v_n) $ définie, pour tout entier naturel $ n $, par :
$ v_n=u_n - 300. $- Montrer que la suite $ (v_n) $ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
- Exprimer $ v_n $ en fonction de $ n $.
En déduire que pour tout entier naturel $ n $ :
$ u_n=300 - 50 \times 0,8^n. $
- À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur affichée par l'algorithme de la question 2.
Une ville organise chaque année un tournoi d'Échecs. En 2016, $ 200 $ joueurs ont participé à ce tournoi. Les organisateurs font l'hypothèse que, d'une année sur l'autre :
- 20% des joueurs ne reviennent pas l'année suivante,
- 60 nouveaux joueurs s'inscrivent au tournoi.
La taille de la salle dans laquelle se déroule le tournoi limite le nombre de joueurs à 320. Les organisateurs vont-ils devoir refuser des inscriptions par manque de places dans les années à venir ? Justifier la réponse.
Corrigé
Pour tout entier naturel $ n $, $ {u_{n+1}=0,8u_n+60} $ ; par conséquent :
$ u_{1}=0,8u_0+60=0,8 \times 250+60=260 $.
$ u_{2}=0,8u_1+60=0,8 \times 260+60=268 $.
L'algorithme peut être complété de la façon suivante :
(Attention au sens de la condition « Tant que $ {U<290} $ ». On veut que la boucle « Tant que » se termine lorsque $ U \geqslant 290 $ ; on souhaite donc qu'elle continue à s'effectuer dans le cas contraire, c'est à dire tant que $ U < 290 $.)
Pour tout entier naturel $ n $, $ v_{n}= u_{n} - 300 $ ; par conséquent :
$ v_{n+1}= u_{n+1} - 300 $.
Comme $ u_{n+1}=0,8u_n + 60 $ :
$ v_{n+1} = 0,8u_n+60 - 300 $
$ \phantom{v_{n+1}} = 0,8u_n - 240. $Puisque $ v_{n}= u_{n} - 300 $, alors $ u_{n}= v_{n}+300 $. On en déduit :
$ v_{n+1} = 0,8(v_n+300) - 240 $
$ \phantom{v_{n+1}} = 0,8v_n+240 - 240 $
$ \phantom{v_{n+1}} = 0,8v_n. $Par ailleurs :
$ v_{0}= u_{0} - 300=250 - 300= - 50 $.
La suite $ (v_n) $ est une suite géométrique de premier terme $ {v_0= - 50} $ et de raison $ 0,8 $.
La suite $ (v_n) $ étant une suite géométrique :
$ v_n=v_0q^n= - 50 \times 0,8^n $.
D'après les questions précédentes :
$ u_{n}= v_{n}+300 = 300 - 50 \times 0,8^n $.
À la calculatrice, on affiche un tableau de valeurs de la fonction $ x \longmapsto 300 - 50 \times 0,8^x $.
On trouve alors :
$ u_7 \approx 289,51 \quad $ et $ \quad u_8 \approx 291,61 $
L'algorithme affiche le plus petit entier naturel $ n $ tel que $ u_n \geqslant 290 $. L'algorithme affichera donc la valeur 8.
Notons $ a_n $ le nombre de joueurs inscrits au tournoi l'année $ 2016+n $.
En 2016, 250 joueurs ont participé au tournoi donc $ a_0=250 $.
Une diminution de 20% correspond à un coefficient multiplicateur de $ {1 - \dfrac{20}{100}=0,8} $ ; on ajoute ensuite les 60 nouveaux inscrits.
On a donc :
$ a_{n+1}=0,8a_n+60. $Les suites $ (u_n) $ et $ (a_n) $ sont définies par la même relation de récurrence et le même premier terme ; elles sont donc identiques.
Par conséquent, d'après la question 3.c. :
$ a_{n}= 300 - 50 \times 0,8^n $.
Comme $ 50 \times 0,8^n $ est strictement positif pour tout entier $ n $, le nombre $ 300 - 50 \times 0,8^n $ est strictement inférieur à 300.
Quelle que soit l'année, le nombre d'inscrits sera inférieur à 300. Les organisateurs n'auront donc pas à refuser des inscriptions par manque de places dans les années à venir.