Exercice 1 (6 points)
Commun à tous les candidats
Dans cet exercice, on munit le plan d’un repère orthonormé.
On a représenté ci-dessous la courbe d’équation :
$y = \dfrac{1}{2}\left(\text{e}^x + \text{e}^{ – x} – 2\right).$
Cette courbe est appelée une « chaînette ».
On s’intéresse ici aux « arcs de chaînette » délimités par deux points de cette courbe
symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.
Un tel arc est représenté sur le graphique ci-dessous en trait plein.
On définit la « largeur » et la « hauteur » de l’arc de chaînette délimité par les points $M$ et $M^{\prime}$ comme indiqué sur le graphique.
Le but de l’exercice est d’étudier les positions possibles sur la courbe du point $M$ d’abscisse $x$ strictement positive afin que la largeur de l’arc de chaînette soit égale à sa hauteur.
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Justifier que le problème étudié se ramène à la recherche des solutions strictement
positives de l’équation$(E)~: \text{e}^x + \text{e}^{ – x} – 4x – 2 = 0.$
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On note $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[0~;~+\infty[$ par :
$f(x) = \text{e}^x + \text{e}^{ – x} – 4x – 2.$
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Vérifier que pour tout $x > 0,\: f(x) = x \left(\dfrac{\text{e}^x}{x} – 4\right) + \text{e}^{ – x} – 2$.
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Déterminer $$\displaystyle\lim\limits_{x \\to + \infty} f(x)$$.
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On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f^{\prime}(x)$, où $x$ appartient à l’\intervalle $[0~;~ +\infty[$.
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Montrer que l’équation $f^{\prime}(x) = 0$ équivaut à l’équation : $\left(\text{e}^x\right)^2 – 4\text{e}^x – 1 = 0$.
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En posant $X = \text{e}^x$, montrer que l’équation $f^{\prime}(x) = 0$ admet pour unique solution réelle \le nombre $\ln \left(2 + \sqrt{5}\right)$.
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On donne ci-dessous \le tableau de signes de la fonction dérivée $f^{\prime}$ de $f$ :
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Dresser \le tableau de variations de la fonction $f$.
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Démontrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution strictement positive que l’on notera $\alpha$.
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On considère l’algorithme suivant où \les variables $a$, $b$ et $m$ sont des nombres réels :
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Avant l’exécution de cet algorithme, \les variables $a$ et $b$ contiennent respectivement \les valeurs $2$ et $3$.
Que contiennent-elles à la fin de l’exécution de l’algorithme ?
On justifiera la réponse en reproduisant et en complé\tant \le tableau ci-contre avec \les différentes valeurs prises par \les variables, à chaque étape de l’algorithme.
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Comment peut-on utiliser \les valeurs obtenues en fin d’algorithme à la question précédente ?
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La Gateway Arch, édifiée dans la ville de Saint-Louis aux États-Unis, a l’allure ci-dessous.
Son profil peut être approché par un arc de chaî\nette renversé dont la largeur est égale à la hauteur.
La largeur de cet arc, \exprimée en mètre, est égale au double de la solution strictement positive de l’équation :
$\left(E^{\prime}\right)~: \text{e}^{\dfrac{t}{39}} + \text{e}^{ – \dfrac{t}{39}} – 4\dfrac{t}{39} – 2 = 0.$
Donner un encadrement de la hauteur de la Gateway Arch.