Suites – Récurrence – Limite

Partie A

1. Calcul des premiers termes :
   $ u_1 = \dfrac{1}{3^1} = \dfrac{1}{3} \approx 0,333 $
   $ u_2 = \dfrac{1}{3^1} + \dfrac{2}{3^2} = \dfrac{3}{9} + \dfrac{2}{9} = \dfrac{5}{9} \approx 0,556 $
   $ u_3 = \dfrac{5}{9} + \dfrac{3}{3^3} = \dfrac{15}{27} + \dfrac{3}{27} = \dfrac{18}{27} = \dfrac{2}{3} \approx 0,666 $

   À l'aide d'une calculatrice, on trouve :

   $ u_{100} \approx 0,749 \text{ à } 10^{-3} \text{ près.} $

2. Pour tout entier $ n \geqslant 1 $ :

   $ u_{n+1} - u_n = \dfrac{n+1}{3^{n+1}} $

   Comme $ n \geqslant 1 $, $ n+1 > 0 $ et $ 3^{n+1} > 0 $, donc $ u_{n+1} - u_n > 0 $.
   La suite $ (u_n) $ est donc croissante.

3. Initialisation :

   Pour $ n=1 $, $ \left(\dfrac{3}{2}\right)^1 = 1,5 \geqslant 1 $. La propriété est vraie.
   Pour $ n=2 $, $ \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4} = 2,25 \geqslant 2 $. La propriété est vraie.

   Hérédité :

   Supposons que pour un entier $ n \geqslant 2 $, $ \left(\dfrac{3}{2}\right)^n \geqslant n $.
   Alors $ \left(\dfrac{3}{2}\right)^{n+1} = \dfrac{3}{2} \times \left(\dfrac{3}{2}\right)^n \geqslant \dfrac{3}{2} n $.
   Or $ \dfrac{3}{2} n = n + \dfrac{1}{2} n \geqslant n+1 $ puisque $ \dfrac{1}{2} n \geqslant 1 $ pour $ n \geqslant 2 $.
   La propriété est donc héréditaire pour $ n \geqslant 2 $.

   Conclusion :

   Par récurrence, pour tout entier naturel $ n $ non nul, $ \left(\dfrac{3}{2}\right)^n \geqslant n $.

4. On a $ \left(\dfrac{3}{2}\right)^n \geqslant n \iff \dfrac{3^n}{2^n} \geqslant n \iff \dfrac{1}{2^n} \geqslant \dfrac{n}{3^n} $.
   On peut alors écrire :

   $ \sum_{k=1}^n \dfrac{k}{3^k} \leqslant \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{2^k} $

   Le premier membre est $ u_n $. Le second est la somme des termes d'une suite géométrique de premier terme $ \dfrac{1}{2} $ et de raison $ \dfrac{1}{2} $.

   $ \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{2^k} = \dfrac{1}{2} \dfrac{1 - (1/2)^n}{1 - 1/2} = 1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n $

   Comme $ 1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n < 1 $, on en déduit que $ u_n \leqslant 1 $ pour tout $ n \geqslant 1 $.
   1 est donc un majorant de $ (u_n) $.

5. La suite $ (u_n) $ est croissante (d'après A.2) et majorée par 1 (d'après A.4).
   D'après le théorème de convergence monotone, la suite $ (u_n) $ est convergente.

Partie B

1. On vérifie l'inégalité $ 3^{n+1} > n(n+1)^2 $ pour les premières valeurs :
   $ n=0 : 3^1 = 3 > 0 $
   $ n=1 : 3^2 = 9 > 1(2)^2 = 4 $
   $ n=2 : 3^3 = 27 > 2(3)^2 = 18 $

   Démontrons par récurrence que $ 3^{n+1} > n(n+1)^2 $ pour tout $ n \geqslant 2 $.

   Supposons $ 3^{n+1} > n(n+1)^2 $ pour un $ n \geqslant 2 $.
   Alors $ 3^{n+2} = 3 \times 3^{n+1} > 3n(n+1)^2 $.

   Comparons $ 3n(n+1) $ et $ (n+2)^2 $ :
   $ (n+2)^2 = n^2 + 4n + 4 = 3n(n+1) - (2n^2 - n - 4) $.

   Pour $ n \geqslant 2 $, $ 2n^2 - n - 4 = 2(2)^2 - 2 - 4 = 2 > 0 $ (plus précisément, le trinôme est positif pour $ n \geqslant 2 $).

   Donc $ 3n(n+1) > (n+2)^2 $, d'où $ 3n(n+1)^2 > (n+1)(n+2)^2 $.

   On en déduit $ 3^{n+2} > (n+1)(n+1+1)^2 $.

   La propriété est donc héréditaire. Comme elle est vraie pour $ n=0, 1, 2 $, elle est vraie pour tout $ n \in \mathbb{N} $.

2. $ v_n = u_n + \dfrac{1}{n} $.
   $ v_{n+1} - v_n = u_{n+1} - u_n + \dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{n} = \dfrac{n+1}{3^{n+1}} - \dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac{n(n+1)^2 - 3^{n+1}}{n(n+1)3^{n+1}} $.
   
   D'après B.1, $ 3^{n+1} > n(n+1)^2 $, donc $ n(n+1)^2 - 3^{n+1} < 0 $.
   
   Ainsi $ v_{n+1} - v_n < 0 $, la suite $ (v_n) $ est décroissante.
3. Puisque $ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0 $, la limite de $ (v_n) $ est égale à celle de $ (u_n) $, notée $ l $.
   La suite $ (v_n) $ est décroissante et minorée (puisque $ v_n > u_n $ et $ (u_n) $ est positive), elle converge donc vers sa limite $ l $.

4. Pour tout $ n \geqslant 1 $, on a $ u_n < l < v_n $.
   On cherche $ n $ tel que $ v_n - u_n \leqslant 10^{-2} $, soit $ \dfrac{1}{n} \leqslant 0,01 $, donc $ n \geqslant 100 $.

   Avec la calculatrice, pour $ n=100 $ :

   $ u_{100} \approx 0,749 $

   $ v_{100} = u_{100} + 0,01 \approx 0,759 $

   Un encadrement de $ l $ d'amplitude $ 10^{-2} $ est par exemple :

   $ 0,745 < l < 0,755 $

(Solution rédigée par Paki)