Récurrence et encadrement

1. On a $u_0 = 1$ et on calcule que $u_1 = \sqrt{3}$. On a donc $1 \leqslant u_0 \leqslant 2$ et $1 \leqslant u_1 \leqslant 2$.

   Admettons que $1 \leqslant u_n \leqslant 2$. Alors :

   $ 3 \leqslant u_n + 2 \leqslant 4 $

   En remarquant que pour tout entier naturel $a$ et $b$, si $a > b$ alors $\sqrt{a} > \sqrt{b}$, on peut écrire :

   $ \sqrt{3} \leqslant \sqrt{u_n + 2} \leqslant 2 $

   c'est à dire $\sqrt{3} \leqslant u_{n+1} \leqslant 2$.

   Comme $1 < \sqrt{3}$, on a finalement :

   $ 1 \leqslant u_{n+1} \leqslant 2 $

   Et par récurrence, on démontre ainsi que $1 \leqslant u_n \leqslant 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

2. On calcule $u_n$ à $10^{-2}$ près pour $n$ allant de 0 à 3 :

   $n$	0	1	2	3
   $u_n$	1	1,73	1,93	1,98

   On observe que $u_1 > u_0$, $u_2 > u_1$ et $u_3 > u_2$ d'où l'on conjecture que $(u_n)$ est croissante.

   Si tel est le cas on doit avoir $u_{n+1} > u_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

   Admettons que $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2} > u_n$. Alors :

   $ u_n + 2 + 2 > u_n + 2 \implies \sqrt{u_n + 2 + 2} > \sqrt{u_n + 2} $

   c'est à dire $u_{n+2} > u_{n+1}$.

   Et par récurrence nous avons démontré que $u_{n+1} > u_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, et donc que $(u_n)$ est croissante.

3. $(u_n)$ est croissante et $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Cela implique que $(u_n)$ est convergente et tend vers une limite $l$ telle que $1 \leqslant l \leqslant 2$.

(Solution rédigée par Paki)