Exercices
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Démonstration d’une conjecture par récurrence
Soit $ k $ un réel positif ou nul.
On considère la suite $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}} $ définie par $ u_0=0 $ et pour tout entier $ n \geqslant 0 $ : $ u_{n+1}= \sqrt{u_n^2+k^2} $.
- Exprimer $ u_1 $, $ u_2 $, $ u_3 $ en fonction de $ k $.
Conjecturer la valeur de $ u_n $ en fonction de $ k $ et de $ n $. - Démontrer, par récurrence, la conjecture émise à la question précédente.
Corrigé
- $ u_{1}= \sqrt{u_0^2+k^2} = \sqrt{k^2} = k $
car $ k $ est un réel positif ou nul.
$ u_{2}= \sqrt{u_1^2+k^2} = \sqrt{k^2 + k^2} = \sqrt{2k^2} = k\sqrt{2} $
$ u_{3}= \sqrt{u_2^2+k^2} = \sqrt{\left(k\sqrt{2}\right)^2 + k^2}= \sqrt{2k^2+k^2} = k\sqrt{3} $
Au vu de ces premiers résultats, on est amené à conjecturer que, pour tout entier naturel $ n $ : $ u_n=k \sqrt{n} $ - Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $ n $ : $ u_n=k \sqrt{n} $
Initialisation : $ u_0=0 $ et $ k \sqrt{0} = 0 $ donc la propriété est vraie au rang $ 0 $.
Hérédité : Supposons que la propriété $ u_n=k \sqrt{n} $ est vraie pour un certain entier naturel $ n $. Alors :
$ u_{n+1}= \sqrt{u_n^2+k^2} $ (définition de la suite)
$ \phantom{u_{n+1}}= \sqrt{\left(k \sqrt{n}\right)^2+k^2} $ (hypothèse de récurrence)
$ \phantom{u_{n+1}}= \sqrt{nk^2+k^2} $
$ \phantom{u_{n+1}}= \sqrt{(n+1)k^2} $
$ \phantom{u_{n+1}}= k\sqrt{n+1} $
ce qui montre que la propriété est héréditaire.
Conclusion : Pour tout entier naturel $ n $ : $ u_n=k \sqrt{n} $